GeometrieUndUnterrichtSS2019 04: Unterschied zwischen den Versionen
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# Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen? | # Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen? | ||
# Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit zylinder-förmiger Innenquerschnittsfläche (Tasse, Regentonne, Mülleimer,…) und auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)#Allgemeiner_Zylinder allgemeine Zylinder]. | # Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit zylinder-förmiger Innenquerschnittsfläche (Tasse, Regentonne, Mülleimer,…) und auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)#Allgemeiner_Zylinder allgemeine Zylinder]. | ||
# In dieser Aufgabe wurde das Problem der ''Flächenmessung'' auf das Problem der ''Volumenmessung'' zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Sekundarstufe erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung ''im Alltag'' tatsächlich das einfacherere Problem ist. | # In dieser Aufgabe wurde das Problem der ''Flächenmessung'' auf das Problem der ''Volumenmessung'' zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Sekundarstufe erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung ''im Alltag'' tatsächlich das einfacherere Problem ist. | ||
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| + | Lesen Sie den Abschnitt [http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“] aus dem Skript zur [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“], Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau). | ||
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| + | # Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit dem Satz von Cavalieri'' nach. | ||
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| + | # Für welchen Unterrichtsgang würden Sie sich in Ihrem Unterricht entscheiden? Warum? | ||
== Vorbereitungsauftrag (Zusatz) == | == Vorbereitungsauftrag (Zusatz) == | ||
Version vom 10. Mai 2019, 13:24 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Vorbereitungsauftrag
Vom Volumen zum Flächeninhalt
Denken Sie sich einen mit rechtiger Innenquerschnittsfläche (Würfel, Milchkarton,…). Gesucht ist der Flächeninhalt der Innenquerschnittsfläche (Grundfläche). Zur Verfügung stehen Ihnen Wasser, eine Waage und ein Maßband.
- Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen?
- Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit zylinder-förmiger Innenquerschnittsfläche (Tasse, Regentonne, Mülleimer,…) und auf allgemeine Zylinder.
- In dieser Aufgabe wurde das Problem der Flächenmessung auf das Problem der Volumenmessung zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Sekundarstufe erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung im Alltag tatsächlich das einfacherere Problem ist.
Vom Flächeninhalt zum Volumen
Lesen Sie den Abschnitt „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“ aus dem Skript zur „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“, Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).
- Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit dem Satz von Cavalieri nach.
- Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit Stufenkörpern nach.
- Für welchen Unterrichtsgang würden Sie sich in Ihrem Unterricht entscheiden? Warum?
Vorbereitungsauftrag (Zusatz)
Der Satz von Fubini ist ein Satz über die Möglichkeit der Berechnung von Doppelintegralen durch iterative Integration:
Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.
- Wiederholen Sie den Satz von Fubini aus Ihrer entsprechenden Mathematik-Vorlesung (vermutlich Analysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funkionalanalysis o.Ä.).
- Formulieren Sie den Satz von Fubini für folgenden Spezialfall: Es sei
ein abgeschlossener Quader, und 
ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei 
messbar. Wir betrachten für 
die Mengen 
. Wie können Sie 
berechnen?
- Für das Prinzip von Cavalieri findet man in Schulbüchern die unten stehende Formulierung. Verwenden Sie die hier angesprochene Integrationstheorie, um eine fachmathematisch präzise Formulierung zu erstellen.
- Welche Bestandteile der Schulbuch-üblichen Formulierung entsprechen welchen Bestandteilen der fachmathematisch präzisen Formulierung?
Das Prinzip von Cavalieri (für Körper)
Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleiche Grundflächeninhalte sowie gleiche Höhen besitzen und sämtliche Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt haben.
