GeometrieUndUnterrichtSS2019 04

Vorbereitungsauftrag

Denken Sie sich einen zylinderförmigen Gegenstand (Tasse, Glas, Mülleimer,…). Gesucht ist der Flächeninhalt der Innenquerschnittsfläche (Grundfläche). Zur Verfügung stehen Ihnen Wasser, eine Waage und ein Lineal.

1. Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen?
2. Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit rechtiger Innenquerschnittsfläche (Würfel, Milchkarton,…) und auf allgemeine Zylinder.
3. In dieser Aufgabe wurde das Problem der Flächenmessung auf das Problem der Volumenmessung zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Schule erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung im Alltag tatsächlich das einfacherere Problem ist.

Vorbereitungsauftrag (Zusatz)

Der Satz von Fubini ist ein Satz über die Möglichkeit der Berechnung von Doppelintegralen durch iterative Integration:

$\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y)$

Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

1. Wiederholen Sie den Satz von Fubini aus Ihrer entsprechenden Mathematik-Vorlesung (vermutlich Analysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funkionalanalysis o.Ä.).
2. Formulieren Sie den Satz von Fubini für folgenden Spezialfall: Es sei $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ein abgeschlossener Quader, und $Y \subseteq \mathbb{R}$ ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei $A\subseteq X\times I$ messbar. Wir betrachten für $h\in I$ die Mengen $A(h) = \{ x\in X \mid (x,h) \in A\}$. Wie können Sie $\int_{A}d(x,y)$ berechnen?
3. Für das Prinzip von Cavalieri findet man in Schulbüchern die unten stehende Formulierung. Verwenden Sie die hier angesprochene Integrationstheorie, um eine fachmathematisch präzise Formulierung zu erstellen.
4. Welche Bestandteile der Schulbuch-üblichen Formulierung entsprechen welchen Bestandteilen der fachmathematisch präzisen Formulierung?

Das Prinzip von Cavalieri (für Körper)

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleiche Grundflächeninhalte sowie gleiche Höhen besitzen und sämtliche Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt haben.