GeometrieUndUnterrichtSS2019 04

Vorbereitungsauftrag

Vom Volumen zum Flächeninhalt

Denken Sie sich einen mit rechtiger Innenquerschnittsfläche (Würfel, Milchkarton,…). Gesucht ist der Flächeninhalt der Innenquerschnittsfläche (Grundfläche). Zur Verfügung stehen Ihnen Wasser, eine Waage und ein Maßband.

1. Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen?
2. Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit zylinder-förmiger Innenquerschnittsfläche (Tasse, Regentonne, Mülleimer,…) und auf allgemeine Zylinder.
3. In dieser Aufgabe wurde das Problem der Flächenmessung auf das Problem der Volumenmessung zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Sekundarstufe erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung im Alltag tatsächlich das einfacherere Problem ist.

Vom Flächeninhalt zum Volumen

Lesen Sie den Abschnitt „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“ aus dem Skript zur „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“, Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).

1. Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit dem Satz von Cavalieri nach.
2. Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit Stufenkörpern nach.
3. Für welchen Unterrichtsgang würden Sie sich in Ihrem Unterricht entscheiden? Warum?

Vorbereitungsauftrag (Zusatz)

Der Satz von Fubini ist ein Satz über die Möglichkeit der Berechnung von Doppelintegralen durch iterative Integration:

$\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y)$

Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

1. Wiederholen Sie den Satz von Fubini aus Ihrer entsprechenden Mathematik-Vorlesung (vermutlich Analysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funkionalanalysis o.Ä.).
2. Formulieren Sie den Satz von Fubini für folgenden Spezialfall: Es sei $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ein abgeschlossener Quader, und $I \subseteq \mathbb{R}$ ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei $A\subseteq X\times I$ messbar. Wir betrachten für $h\in I$ die Mengen $A(h) = \{ x\in X \mid (x,h) \in A\}$. Wie können Sie $\int_{A}d(x,y)$ berechnen?
3. Für das Prinzip von Cavalieri findet man in Schulbüchern die unten stehende Formulierung. Verwenden Sie die hier angesprochene Integrationstheorie, um eine fachmathematisch präzise Formulierung zu erstellen.
4. Welche Bestandteile der Schulbuch-üblichen Formulierung entsprechen welchen Bestandteilen der fachmathematisch präzisen Formulierung?

Das Prinzip von Cavalieri (für Körper)

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleiche Grundflächeninhalte sowie gleiche Höhen besitzen und sämtliche Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt haben.

Dokumentation der Sitzung

Inhaltlicher Input

Das Prinzip von Cavalieri (für Körper)

Im Raum werden zwei Körper und die Schar aller zu einer Ebene parallelen Ebenen betrachtet. Wenn für jede Ebene der Schar die beiden Schnittflächen mit den zwei Körpern gleichen Flächeninhalt haben, so sind die beiden Körper volumengleich.

Das Prinzip von Cavalieri (für Flächen)

In einer Ebene werden zwei Figuren und die Schar aller zu einer Geraden parallelen Geraden betrachtet. Wenn für jede Gerade der Schar die beiden Schnitte mit den zwei Figuren gleich lang sind, so sind die beiden Figuren flächengleich.