GeometrieUndUnterrichtSS2019 10

Sitzungsmaterialien

• Begleitfolien zur Sitzung vom 12.07.2019

Dokumentation der Sitzung

Aufwärmübung

Als Aufwärmübung hatten wir eine Gerade mit 3 Punkten, von denen zwei nicht auf der Gerade lagen und sich auf der gleichen Seite der Gerade befanden. Der dritte Punkt war ein beliebiger Punkt auf der Gerade. Die Gerade war ein Fluss und die anderen beiden Punkte waren Bob und Alice. Die Frage war nun, welches die kürzeste Strecke von Alice zu Bob ist.

Die ersten Vorschläge waren:

• Der kürzeste Weg ist der, bei dem die Strecke Alice - Fluss und Fluss - Bob den gleichen Abstand haben.

Daraufhin gab es einen Hinweis: Angenommen wir wollen von Alice zu Bob. Was wäre dort die kürzeste Strecke? - Die direkte Verbindung

• Alice soll den Mittelpunkt eines Kreises darstellen. Die Strecke Alice - Bob bildet den Radius. Der Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade Fluss schneiden, soll den Punkt auf der Gerade darstellen - Frage: Wenn es zwei Schnittpunkte gibt, welches ist der richtige Punkt? Gibt es eine kürzere Verbindung?
• Man zieht eine Senkrechte von Bob zum Fluss. Der Schnittpunkt mit der Geraden stellt den Punkt dar, wo man den Fluss überqueren soll. Auch hier: Gibt es eine kürzere Verbindung?

Lösung:

Man spiegelt den Punkt Bob an der Gerade Fluss (Fluss = Spiegelgerade). Anschließend zieht man eine direkte Verbindung von Alice zum Spiegelpunkt Bob'. Der Schnittpunkt der Strecke Alice - Bob' mit der Geraden Fluss ist der dritte Punkt. Anschließend wird zurückgespiegelt. Der kürzeste Weg ist dann von Alice zum Schnittpunkt der Strecke Alice-Bob' zu Bob.

Abbildungsgeometrischer Zugang

Die Geometrischen Abbildungen in der Euklidischen Anschauungsebene sind Längentreue Abbildungen, aus denen Winkeltreue Abbildungen und Geradentreue Abbildungen folgen. Aus den Winkeltreuen Abbildungen lassen sich die Streckenverhältnistreuen Abbildungen ableiten und aus den Geradentreuen Abbildungen, die Parallelentreue und die Teilverhältnistreuen Abbildungen.

Bei den Winkeltreuen und Streckenverhältnistreuen Abbildungen geht es insbesondere um:

• zentrische Streckungen
• Strahlensätze
• Teilung/Vervielfältigung von Strecken

Bei den Längentreuen Abbildungenn unterscheidet man zwischen ,,eigentlichen Bewegungen, wie die Verschiebung und die Drehung und den ,,uneigentlichen Bewegungen, wie den Spiegelungen und den Schubspiegelungen. Dabei spielen die umeigentlichen Bewegungen wie Spiegelung und Schubspiegelung schon in der Grundschule eine Rolle. Die Klassifikation von geometrischen Figuren durch Deckabbildungen ist zur heutigen Zeit verschwunden in den Schulen.

Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule

In der Schule unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen.

Zu den Kongruenzabbildungen gehören:

• Verschiebungen (z.B. Vektoren)
• Drehungen (z.B. Winkel)
• Spiegelungen
• Symmetrie (z.B. Achsen- und Punktsymmetrie)
• Haus der Vierecke (Deckabbildungen)

Zu den Ähnlichkeitsabbildungen gehören:

• zentrische Streckung (Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich durch eine zentrische Streckung verändern)
• erster und zweiter Strahlensatz (Der erste und zweite Strahlensatz kann in der Schule nicht gut bewiesen werden, da man intuitiv die Strahlensätze beispielsweise beim Beweis der zentrischen Streckung schon benutzt, ohne sie zuvor zu beweisen)
• Strecken teilen und vervielfältigen

Die Affinen Abbildungen sind kein Thema mehr in der Schule. Es werden nur noch teilweise Teilverhältnisse thematisiert.

Beispiel: Sätze über Teilverhältnisse.

Man kann die Seitenhalbierenden eines Dreiecks bilden und sieht, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden. Diese Ähnlichkeit der beiden Dreiecke kann man nutzen, um das Verhältnis 2:1 zu zeigen. Dreieck ABD ist ähnlich zu Dreieck AFE, weil sie im rechten Winkel und einem zweiten Winkel übereinstimmen (Winkelsummensatz: Wenn zwei Winkel gleich sein, ist der dritte ebenso identisch). Die Ähnlichkeit ist definiert über zwei, bzw. drei gleiche Winkel. Durch die Affinität der Seitenhalbierenden, kann man dies in jedem Dreieck erzeugen.

Beispiel

Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie

• Universelle mathematische Idee: Abbildung und Gruppen
• Funktionales Denken: Dynamische und elementarkinematische Denkweise
• Anschaulichkeit und Handlungsbezogenheit: SuS-Aktivitäten möglich(er)
• Strukturverwandschaft mit allgemeinen Denkhandlungen
• Globale Ordnung: durchgängiges Prinzip beim Geometrietreiben
• Lokale Ordnung: Abbildungsbeweise auf verschiedenen Stufen der Strenge möglich

Arbeitsphase

Bearbeitungsauftrag (Zentrische Streckungen)

1. Beschreiben Sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P für den Fall, dass Abbildungsverhalten durch einen Punkt und seinen Bildpunkt vorgegeben ist.
2. Beschreiben sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P mit rationalem Streckfaktor k =n/m

Konstruktionsbeschreibung:

• Hilfsgerade g durch Z zeichnen
• beliebiges r auf g m-mal abtragen
• m-ten Schnittpunkt Q mit P verbinden
• Parallele durch n-ten Schnittpunkt (R) zu PQ zeichnen
• Schnittpunkt von ZP und Parallele n ist Bildpunkt P'

Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und zentrischen Streckungen

Bearbeitungsauftrag (Kongruenzabbildungen)

1. Zeigen Sie, dass eine Kongruenzabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
2. Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

Konstruktionsbeschreibung:

• Kreis¹ um B mit Radius BP
• Kreis² um A mit Radius AP
• Schnittpunkt von K₁ und K₂{P₁, P₂}
• Wähle P nun so, wie das Verhalten von C zur Strecke AB ist.

Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen

Bearbeitungsauftrag (Ähnlichkeitsabbildung)

1. Zeigen Sie, dass eine Ähnlichkeitsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt von P.
2. Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

Konstruktionsbeschreibung:

• Dreieck ABC in Dreieck A'B'C' abtragen -> B ist Element der Strecke A'B', C ist Element der Strecke A'C' und A = A'
• Gerade durch A' und P und Gerade durch C und P
• Parallele zur Strecke CP durch C' ist g
• Schnittpunkt von g und der Strecke A'P ist P'

Alternativ kann man auch den Winkeln PAB und PBA in das Dreieck A'B'C' abtragen. Der Schnittpunkt ist dann P'

Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen

Bearbeitungsauftrag (Affinitätsabbildung)

1. Zeigen Sie, dass eine Affinitätsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
2. Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen

Nachbereitungsauftrag

Lesen Sie in Bender (1982) Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion die Seiten 17 bis 18 (Abschnitt 2.6 Zusammenfassung der Begründung und Abschnitt 3 Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll? bis Argument A).

1. Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Vorteile Sie in dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.
2. Skizzieren Sie einen möglichen Themenausschnitt/SuS-Aktivität/…, von der Sie sich gut vorstellen könnten, diese mit einem abbildungsgeometrischen Zugang später selber zu unterrichten.

Literaturhinweise

• Bender (1982). Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion. In Zentralblatt für Didaktik der Mathematik.
• Graumann et al. (1996). Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre. In Journal für Mathematik-Didaktik.
• Filler (2016). Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?. In Mathematische Semesterberichte.
• Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“.
• Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“.