GeometrieUndUnterrichtSS2019 12: Unterschied zwischen den Versionen
(→Finden und Formulieren der Vermutung (zum Satz des Thales)) |
(→Explorieren oder Operatives Durcharbeiten der Problemsituation) |
||
| Zeile 40: | Zeile 40: | ||
== Explorieren oder Operatives Durcharbeiten der Problemsituation == | == Explorieren oder Operatives Durcharbeiten der Problemsituation == | ||
| + | |||
| + | Indem Bedingungen der Problemstellung variiert und die Auswirkungen dieser Änderungen untersucht werden, sollen SuS die Hypothese bzw. Vermutung des vorangegangenen Schrittes überprüfen: "Gilt die Vermutung auch bei veränderten Bedingungen? Welche Bedingungen oder Voraussetzungen sind wirklich erforderlich?" | ||
| + | |||
| + | Darüber hinaus erhalten sie Einsichten über Spezialfälle, Einschränkungen oder Möglichkeiten der Verallgemeinerung der Vermutung. | ||
== Beweisfindung und inhaltlich-anschauliche Argumente == | == Beweisfindung und inhaltlich-anschauliche Argumente == | ||
Version vom 6. Juli 2019, 17:32 Uhr
Der Satz des Thales und formaler Beweis
Mögliche Formulierung: „Alle Winkel an einem Halbkreis sind rechte Winkel“.
Formaler Beweis
Es ist 
,
wobei r den Radius des Kreises bezeichnet. Demnach sind ΔAMC und ΔMBC gleichschenklig.
Insbesonders gilt aufgrund des Basiswinkelsatzes für gleichschenklige Dreiecke: 
und 
.
Wegen des Satzes der Winkelsumme im Dreieck ΔABC gilt:
,
und mit 
ergibt sich
.
Vorüberlegungen
In Anknüpfung an die vorherige Sitzung zum Thema "Beweisen und Argumentieren" werden die idealtypischen Bestandteile von Beweisprozessen in der Schule wiederholt. Da das Ziel der Sitzung ist, in gemeinsamer Arbeit eine mögliche Unterrichtsskizze zum Thema "Beweis vom Satz des Thales" zu entwerfen, werden die Bestandteile hier auf das Beispiel "Beweis vom Satz des Thales" bezogen.
Bereitstellung und/oder Aktivierung von Vorwissen der Schülerinnen und Schüler
Zunächst stellt sich die Frage, welches Vorwissen bei den SuS vorhanden sein und deswegen zu Beginn der geplanten Unterrichtsstunde aktiviert werden muss, damit dieses zum Beweisen des Satzes benutzt werden kann. Die nötigen Fakten wurden bereits in der vorherigen Sitzung an der Tafel zusammengetragen:
- Alle Punkte auf einer Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt.
- Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke
- Satz über Winkelsumme im Dreieck, Rechnen mit Winkeln (Addierbarkeit, Ergänzung von Winkeln)
- Lösungsverfahren von Gleichungen, speziell Einsetzungsverfahren
- Definition & Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken
Da es sich bei diesem Bestandteil des Beweisprozesses nur um die Vorarbeit für die eigentliche Beweisarbeit handelt, sollte die Phase der Aktivierung von Vorwissen entsprechend nicht zu viel Unterrichtszeit in Anspruch nehmen. Mögliche Methoden wären beispielsweise die Durchführung eines Quizzes im Plenum, oder das Bearbeiten eines Arbeitsblattes in Einzelarbeit. Inhaltlich sollen die gestellten Aufgaben logischerweise auf das benötigte Vorwissen abzielen.
Finden und Formulieren der Vermutung (zum Satz des Thales)
Dieser Bestandteil zielt zunächst auf die Exploration und eine intensive Auseinandersetzung mit der Problemstellung ab, um die SuS für diese zu sensibilisieren. Dabei können von den SuS Gesetzmäßigkeiten identifiziert oder bereits Bedingungen erkannt werden, die Voraussetzung für diese Gesetzmäßigkeit sind. Entsprechende Hypothesen werden aufgestellt. Diese Phase ist eher von einer empirischer Arbeitsweise geprägt.
Explorieren oder Operatives Durcharbeiten der Problemsituation
Indem Bedingungen der Problemstellung variiert und die Auswirkungen dieser Änderungen untersucht werden, sollen SuS die Hypothese bzw. Vermutung des vorangegangenen Schrittes überprüfen: "Gilt die Vermutung auch bei veränderten Bedingungen? Welche Bedingungen oder Voraussetzungen sind wirklich erforderlich?"
Darüber hinaus erhalten sie Einsichten über Spezialfälle, Einschränkungen oder Möglichkeiten der Verallgemeinerung der Vermutung.
Beweisfindung und inhaltlich-anschauliche Argumente
Formalisierung der Beweisargumentation
Rückschau, operatives Durcharbeiten des Beweises
Kollaborative Unterrichtsskizze zur Beweisaufgabe: „Satz des Thales“
Aktivierung von Vorwissen
Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales
Die Klasse wird in drei Gruppen geteilt. Gruppe 2 beschäftigt sich mit der Aussage vom Satz des Thales, wohingegen Gruppe 1 und 3 die Umkehrung erforschen.
SchülerInnen der ersten Gruppe erhalten neben dem Aufgabenblatt Overheadprojektor-Folien mit der schon vorgezeichneten Seite c des Dreiecks ABC, s.d. möglichst zügig gearbeitet werden kann. Die SuS sollen sich in der Gruppe austauschen und organisieren, wer welche Winkelgröße \beta in seinem/ihren Dreieck realisiert. Damit es nicht zu viel Folien sind, soll jeder Schüler/ jede Schülern der Gruppe mindestens zwei rechtwinklige Dreiecke mit unterschiedlichen Winkelgrößen für \beta mit Hilfe des Geodreiecks konstruieren. Danach sollen die Folien aufeinander gelegt werden, d.h. die SuS müssen zusammenarbeiten und überlegen, welche Bedingung (Seite c auf Seite c oder Rechte Winkel auf rechte Winkel) sie invariant halten möchten. Durch das Sammeln mehrerer unterschiedlicher, rechtwinkliger Dreieck mit gleicher Hypotenuse sollte die Vermutung der Umkehrung des Satz des Thales wecken, nämlich das der Eckpunkt C auf einer Kreislinie liegen muss (Seite c wird auf Seite c gelegt) oder das die Seiten c Durchmesser eines Kreises sind (Rechte Winkel werden aufeinander gelegt). Am Schluss soll ihre Vermutung auch kurz schriftlich festgehalten werden, damit im weiteren Verlauf der Unterrichtssequenz bei Behandlung der Umkehrung darauf verwiesen und die Vermutung mit dem Umkehrung des Satz des Thales verglichen werden kann.
Exploration der Phänomensituation (Thalesfiguren)
Beweisfindung und Argumentation
