Geradenspiegelungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g))
(→‎Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels)
 
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===Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels===
 
===Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels===
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{{#ev:youtube|rAPgiFSavFY}}
 
{| class="wikitable"  
 
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Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft?
 
Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft?
 
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)
 
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)
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===Fixgerade vs. Fixpunktgerade===
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[[Bild:FG_FPG.jpg|800px]]<br />
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--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 18:10, 2. Nov. 2011 (CET)
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<ggb_applet width="757" height="492"  version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "false" />
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--[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 18:01, 10. Nov. 2011 (CET)
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<ggb_applet width="483" height="496"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br /><br />--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:59, 8. Nov. 2011 (CET)
  
 
==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==
 
==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==
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==Definition des Begriffs==
 
==Definition des Begriffs==
 
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
 
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
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::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math>versteht man eine ....
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::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math>versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und der Punkt P so abgebildet wird, dass gilt: <math>\overline{P\rho(P) } \perp g</math> und <math>|Pg| = |g\rho  (P)|</math>.
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 +
Zweite Möglichkeit (etwas einfacher und plausibler ausgedrückt):
 +
 
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::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math>versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{P\rho(P) }</math> ist.
 +
<br />
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--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:29, 31. Okt. 2011 (CET)
  
 
==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==
 
==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==
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=====Fall 1=====
 
=====Fall 1=====
 
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
 
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
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Beweis: <br />
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Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.
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Nach der Definition 'Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung' und des Satzes, dass die Zwischenrelation eine Invariante der Bewegung ist, ergibt sich das von selbst. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:53, 31. Okt. 2011 (CET)
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Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:01, 1. Nov. 2010 (UTC):<br />Auch wenn wir Umlaufsinn bisher nirgends definiert haben,<br />wissen wir, dass jede Geradenspieglung den Umlaufsinn verändert.<br />Kann eine Geradenspeigelung damit die Identität sein?<br />Sie meinen nicht, dass die jweils betrachtete Geradenspiegelung die Identität ist,<br />sondern, dass jeder Punkt der Spiegelgeraden <math>g</math> auf sich selbst abgebildet wird.
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dann so: extra exakt (kleinschrittig):
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{| class="wikitable center"
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|+ Beweis<br />
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|- style="background: #DDFFDD;"
+
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! Nr.
+
−
! Beschreibung des Schrittes
+
−
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
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|-
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| 1.
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| <math>\ A =\ A'</math>; <math>\ B =\ B'</math>
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| Definition Geradenspiegelung
+
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|-
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| 2.
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| <math>\overline{AB} \simeq  \overline{A'B'}</math>
+
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| Reflexivität der Streckenkongruenz
+
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|-
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| 3.
+
−
| <math>|\overline{AB}| = |\overline{A'B'}|</math>
+
−
| Def. Streckenkongruenz
+
−
|-
+
−
 
+
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|} oder ungenauer, aber vermutlich ausreichend:<br />
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−
Die Abstandserhaltung unmittelbar aus dem ersten Teil der Def. Geradenspiegelung, da <math>\overline{AB}</math>=<math>\overline{A'B'}</math>--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 21:42, 6. Nov. 2010 (UTC)
+
  
 
=====Fall 2=====
 
=====Fall 2=====
 
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>
 
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>
 +
Beweis:<br />
 +
Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math><br />
 +
Zunächst eine Skizze zum 'spielen': Bewege Punkt B nach belieben.
 +
<ggb_applet width="1366" height="607"  version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 +
<br />
 +
<br />
 +
Zu zeigen: |AB| = |AB'|<br />
 +
Direkter Beweis<br /><br />
 +
Fall I: <math>A \in \overline{BB'}</math>: Nach Definition Mittelsenkrechten und Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ist dieser Fall bewiesen.<br /><br />
 +
Fall II: <math>A  \not\in  \overline{BB'}</math><br />
  
−
Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>
+
Nach der Definition Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung und Defintion Geradenspiegelung ist g die Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math> <br />
−
 
+
Daraus folgt: |BL| = |LB'|<br />
−
{| class="wikitable center"
+
A und L liegen auf g, danach gilt nach der Reflexivität von '=', das |AL| = |AL|<br />
−
|+ Beweis<br />
+
Da das Mittelsenkrechtenkriterium einen Winkel von 90 vorschreibt, sind auch die beiden Winkel <math>\angle BLA</math> und <math>\angle ALB'</math> kongruent zueinander.<br />
−
 
+
Nach SWS, der Definition von Kongruenz und den drei vorherigen Beweisschritten ist klar, dass |AB| = |AB'| ist.<br /><br />
−
|- style="background: #DDFFDD;"
+
−
! Nr.
+
−
! Beschreibung des Schrittes
+
−
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
+
−
|-
+
−
| 1.
+
−
| <math>\ A</math> = <math>\ A'</math>
+
−
| Definition Geradenspiegelung
+
−
|-
+
−
| 2.
+
−
| <math>\ |BL| = |B'L|</math>
+
−
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
+
−
|-
+
−
| 3.
+
−
| <math>\|AL| = |A'L|</math>
+
−
| Es handelt sich um dieselbe Gerade.
+
−
|-
+
−
| 4.
+
−
| <math>\| \angle BLA| = | \angle B'LA'|</math> = 90°
+
−
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
+
−
|-
+
−
| 5.
+
−
| <math>\overline {ABL}</math>  kongruent <math>\overline {A'B'L}</math>
+
−
| 2. + 3. + 4. + SWS
+
−
|-
+
−
| 6.
+
−
| <math>\ |AB| = |A'B'|</math>  
+
−
| 5.
+
−
|}
+
  
 +
Wirtschaftlicher wäre der Beweis mit dem Mittelsenkrechtenkriterium zu führen, dort hätte man nur einen Beweisschritt. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:17, 31. Okt. 2011 (CET)
  
 
=====Fall 3=====
 
=====Fall 3=====
−
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>
+
<ggb_applet width="1280" height="857"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 +
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />
  
−
Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>
+
Beweis:<br>
  
−
Den Schnittpunkt von <math>\overline {AA'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ M</math>
+
Sei <math> L_a := AA' \cap g </math> und <math> L_b := BB' \cap g </math><br>
 +
nach Definition der Gradespiegelung ist g Mittelsenkrechte von <math> \overline{AA'} \wedge \overline{BB'}</math> <br>
 +
<math>\Rightarrow L_a \wedge L_b </math> sind Mittelpunkt der Strecken <math> \overline{AA'} \wedge \overline{BB'}</math><br>
 +
<math>\Rightarrow \left| AL_a \right| = \left| A'L_a \right| \wedge  \left| BL_b \right| = \left| B'L_b \right|\box </math><br>
 +
Ferner gilt da g Mittelsenkrechte ist <math>|\angle L_bL_aA'|=|\angle AL_aL_b|=90\box  \box  </math><br>
 +
Trivialerweise gilt <math>\left| L_aL_b \right| = \left| L_aL_b \right|\box  \box  \box  </math><br>
 +
Aus <math>\box  ,\box  \box  ,\box  \box  \box , SWS  \Rightarrow \overline{A'L_aL_b}\equiv  \overline{AL_aL_b} \Rightarrow \left| A'L_b \right| = \left| AL_b \right| \wedge \angle A'L_bL_a\equiv \angle L_aL_bA \Rightarrow \angle B'L_bA'\equiv \angle AL_bB</math><br>
 +
Nun gilt: <math>\left| A'L_b \right| =\left| AL_b \right| \wedge \left| B'L_b \right| =\left| BL_b \right| \wedge \angle B'L_bA'\equiv \angle AL_bB </math><br>
 +
<math>\Rightarrow \overline{A'B'L_B}\equiv \overline{ABL_B} \Rightarrow \left| AB \right| =\left| A'B' \right|</math>
 +
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 19:42, 7. Nov. 2011 (CET)
  
−
{| class="wikitable center"
+
=====Fall 4=====
−
|+ Beweis<br />
+
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />
  
−
|- style="background: #DDFFDD;"
+
Beweis<ggb_applet width="1280" height="857"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
−
! Nr.
+
−
! Beschreibung des Schrittes
+
−
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
+
−
|-
+
−
| 1.
+
−
| <math> | \overline {AM}| = | \overline {A'M}|, \overline {ML} = \overline{ML}, | \angle AML| = | \angle A'ML |</math> = 90°
+
−
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}</math>
+
−
|-
+
−
| 2.
+
−
| <math>\overline {AML}</math>  kongruent <math>\overline {A'ML}</math>
+
−
| 1.
+
−
|-
+
−
| 3.
+
−
| <math> | \angle MAL| = | \angle ALB |</math> und  <math> | \angle MA'L| = | \angle A'LB' |</math>
+
−
| Wechselwinkelsatz, da <math>\overline {AA'}  ||  \overline {BB'}</math>
+
−
|-
+
−
| 4.
+
−
| <math> | \angle MAL| = | \angle MA'L |</math> -->  <math> | \angle ALB| = | \angle A'LB' |</math>
+
−
| 2. + 3.
+
−
|-
+
−
| 5.
+
−
| <math> | \overline {BL}| = | \overline {B'L}|</math>
+
−
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
+
−
|-
+
−
| 6.
+
−
| <math> | \overline {AL}| = | \overline {A'L}|</math>
+
−
| 2.
+
−
|-
+
−
| 7.
+
−
| <math> | \overline {ABL}| = | \overline {A'B'L}|</math>
+
−
| 4. + 5. + 6. + SWS
+
−
|-
+
−
| 8.
+
−
| <math> | \overline {AB}| = | \overline {A'B'}|</math>
+
−
| 7.
+
−
|}
+
−
Ergänzung: Für den Fall, das A und B nicht in der selben Halbebene bezüglich der Geraden s liegt, läuft der Beweis analog, nur dass die Winkel anderst benannt werden müssen.
+
  
−
Müsste es bei Fall 3 Schritt 5 nicht <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math> heißen oder bezieht man hier Fall 2 mit ein, sodass der Beweis formal und logisch richtig ist? Ja  <math>\overline{BB'}</math> ist korrekt, habs geändert. <br />Vielen Dank :) --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 16:02, 30. Okt. 2010 (UTC)
+
Leitgedanke:
−
 
+
Die beiden Dreiecke BB'C und AA'C sind gleichschenklig (trivial)<br>
−
Bemerkung--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:44, 1. Nov. 2010 (UTC):<br />soweit ich sehe ist der Beweis korrekt.<br />Fall 2 dürfte, da er bereits bewiesen wurde, verwendet werden.<br />Vielleicht doch zwei Unterfälle:<br /><math>A</math> und <math>B</math> in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />und<br /> <math>A</math> und <math>B</math> in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math>?
+
Es gibt den Schnittpunkt C = AB geschnitten A'B', wegen A und B befinden sich in verschiedenen Halbebenen + wäre wenn nicht widerspruch zur gleischenkligkeit (mittelsenkrechtenkriterium)<br>
 +
und daraus würde dann die Gleichheit folgen.<br>
 +
müsste noch ausformuliert werden.
 +
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 22:23, 7. Nov. 2011 (CET)
  
 
== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
 
== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
 
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
 
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
 +
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
 
==== Satz 2.2 ====
 
==== Satz 2.2 ====
−
:: Zu jeder Geraden gibt es genau eine Geradenspiegelung.
+
:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegeleachse eindeutig bestimmt.<br /><br />
−
 
+
Der Beweis kann direkt geführt werden, da er dem Beweis der Eindeutigkeit des Mittelpunktes nachgeht. Nehmen wir aber dennoch an, es gibt eine zweite Spiegelgerade f, mit f<math>\neq</math> g.
−
 
+
<br />
−
Anders ausgedrückt: Eine Geradenspieglung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.
+
<br />
−
 
+
Es seien P ein Punkt und P' das Bild des Punktes P. P' entstand durch Spiegelung an g.<br />
−
====Möglicher Beweis von Satz 2.2====
+
Der Schnittpunkt von <math>g \cap \overline{PP'} </math> sei L.<br /><br />
−
 
+
Nach der Definition der Geradenspiegelung (bzw. Bild eines Punktes bei der Spiegelung) ist nun L Mittelpunkt von <math> \overline{PP'} </math>.<br />
−
1.(es gibt mindestens eine)
+
Da der Mittelpunkt einer Strecke eindeutig ist, muss nun gelten, dass f ebenfalls durch L verläuft und senkrecht ist. Da aber nach dem Winkelkonstruktionsaxiom nur ein Winkel mit dem Maß 90 existiert, muss f <math>\equiv</math> g sein, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:29, 31. Okt. 2011 (CET)
−
::
+
−
Es sei eine Gerade g und ein Punkt P nicht Є g. Ich konstruiere P´ dermaßen, dass gilt: g ist Mittelsenkrechte von |PP´|. Nach Def. ist dies eine Geradenspiegelung an g.
+
−
::Damit ist die Existenz bewiesen.
+
−
::
+
−
::
+
−
2. (es gibt höchstens eine)
+
−
::
+
−
Um zu zeigen dass es nicht mehr Geradenspiegelungen geben kann, nehme ich an, dass es mindestens zwei Geradenspiegelungen an einer Geraden gibt.
+
−
::
+
−
So konstruiere ich also P´´ so, dass g die Mittelsenkrechte von |P´P´´| ist (dies möge auf dem Bild so sein).  
+
−
 
+
−
<ggb_applet width="247" height="280"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
+
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Bleibt also z.z.: P = P´´
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Kann ich das zeigen bin ich fertig, denn dann habe ich wieder die Identität und das "Spiegelspielchen" könnte von neuem beginnen.  
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Also nehme ich an: P ≠P``
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Es möge gelten: |PP´| ∩ g = Q und |P`P``| ∩ g = R
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Ich betrachte das Dreieck ∆P´QR:
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Es gilt also nach Konstruktion (Ich geh einfach mal davon aus ich könnte so etwas konstruieren) bzw. Def. Spiegelung an einer Geraden: |<P´QR = <P`RQ = 90°|(Wiederspruch zum Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck)
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Also ist P = P´´.
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::Damit ist bewiesen, dass es nicht mehr als eine Spiegelung geben kann. --[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 23:23, 2. Nov. 2010 (UTC)
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==== Satz 2.3 ====
 
==== Satz 2.3 ====
 
:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls  <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.
 
:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls  <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.
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Nach zu Grunde legen der Definition des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung geht dieses unmittelbar aus dem Winkelkonstruktionsaxiom hervor und der Eindeutigkeit des Mittelpunktes. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:31, 31. Okt. 2011 (CET)
  
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Dieser Satz gilt, da nach Definition Geradenspiegelung die Spiegelgerade s die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline PS(P) </math> ist und diese Mittelsenkrechte exisitert und eindeutig ist. --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:40, 2. Nov. 2010 (UTC)
 
 
[[Category:Elementargeometrie]]
 
[[Category:Elementargeometrie]]

Aktuelle Version vom 13. Juni 2012, 13:35 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie



Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Spiegelung 01.JPG Spiegelung 02.JPG Spiegelung 03.JPG
Spiegelung 04.JPG Spiegelung 05.JPG Spiegelung 06.JPG
Spiegelung 07.JPG Spiegelung 09.JPG Spiegelung 10.JPG
Spiegelung 11.JPG Spiegelung 12.JPG

Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Fixgerade vs. Fixpunktgerade

FG FPG.jpg
--Flo60 18:10, 2. Nov. 2011 (CET)

--Gubbel 18:01, 10. Nov. 2011 (CET)



--*m.g.* 13:59, 8. Nov. 2011 (CET)

Konstruktion des Bildes eines Punktes \ P bei einer Spiegelung an der Geraden \ g


Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei \ P ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden \ g dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von \ P bei der Spiegelung an \ g. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.


Konstruktion des Bildes eines Punktes \ P bei der Spiegelung aneiner Geraden \ g
(P \notin g)
Nr. Beschreibung des Schrittes Genauere Beschreibung Begründung der Korrektheit des Schrittes
1. ... ... ...
2. ... ... ...
3. ... ... ...

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit, desjeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.--*m.g.* 13:10, 27. Okt. 2011 (CEST)

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g)
Es sei \ g eine Gerade. Unter der Spiegelung \ S_g an der Geraden gversteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und der Punkt P so abgebildet wird, dass gilt: \overline{P\rho(P) } \perp g und |Pg| = |g\rho (P)|.

Zweite Möglichkeit (etwas einfacher und plausibler ausgedrückt):

Es sei \ g eine Gerade. Unter der Spiegelung \ S_g an der Geraden gversteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und Mittelsenkrechte der Strecke \overline{P\rho(P) } ist.


--Flo60 20:29, 31. Okt. 2011 (CET)

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung \ S_g ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis von Satz 2.1:

Es seien \ A, \ B zwei Punkte, die an einer Geraden \ g auf ihre Bilder \ A' und \ B' gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Fall 1
\ A, B \in \ g

Beweis:
Nach der Definition 'Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung' und des Satzes, dass die Zwischenrelation eine Invariante der Bewegung ist, ergibt sich das von selbst. --Flo60 20:53, 31. Okt. 2011 (CET)

Fall 2
\ A \in \ g, \ B \notin \ g

Beweis:
Den Schnittpunkt von \overline {BB'} mit \ g bezeichnen wir mit \ L
Zunächst eine Skizze zum 'spielen': Bewege Punkt B nach belieben.



Zu zeigen: |AB| = |AB'|
Direkter Beweis

Fall I: A \in \overline{BB'}: Nach Definition Mittelsenkrechten und Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ist dieser Fall bewiesen.

Fall II: A \not\in \overline{BB'}

Nach der Definition Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung und Defintion Geradenspiegelung ist g die Mittelsenkrechte von \overline{BB'}
Daraus folgt: |BL| = |LB'|
A und L liegen auf g, danach gilt nach der Reflexivität von '=', das |AL| = |AL|
Da das Mittelsenkrechtenkriterium einen Winkel von 90 vorschreibt, sind auch die beiden Winkel \angle BLA und \angle ALB' kongruent zueinander.
Nach SWS, der Definition von Kongruenz und den drei vorherigen Beweisschritten ist klar, dass |AB| = |AB'| ist.

Wirtschaftlicher wäre der Beweis mit dem Mittelsenkrechtenkriterium zu führen, dort hätte man nur einen Beweisschritt. --Flo60 21:17, 31. Okt. 2011 (CET)

Fall 3

\ A, B \notin \ g, A und B liegen in derselben Halbebene bezüglich g

Beweis:

Sei L_a := AA' \cap g und L_b := BB' \cap g
nach Definition der Gradespiegelung ist g Mittelsenkrechte von \overline{AA'} \wedge \overline{BB'}
\Rightarrow L_a \wedge L_b sind Mittelpunkt der Strecken \overline{AA'} \wedge \overline{BB'}
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): \Rightarrow \left| AL_a \right| = \left| A'L_a \right| \wedge \left| BL_b \right| = \left| B'L_b \right|\box
Ferner gilt da g Mittelsenkrechte ist Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): |\angle L_bL_aA'|=|\angle AL_aL_b|=90\box \box
Trivialerweise gilt Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): \left| L_aL_b \right| = \left| L_aL_b \right|\box \box \box
Aus Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\box“): \box ,\box \box ,\box \box \box , SWS \Rightarrow \overline{A'L_aL_b}\equiv \overline{AL_aL_b} \Rightarrow \left| A'L_b \right| = \left| AL_b \right| \wedge \angle A'L_bL_a\equiv \angle L_aL_bA \Rightarrow \angle B'L_bA'\equiv \angle AL_bB
Nun gilt: \left| A'L_b \right| =\left| AL_b \right| \wedge \left| B'L_b \right| =\left| BL_b \right| \wedge \angle B'L_bA'\equiv \angle AL_bB
\Rightarrow \overline{A'B'L_B}\equiv \overline{ABL_B} \Rightarrow \left| AB \right| =\left| A'B' \right| --Peterpummel 19:42, 7. Nov. 2011 (CET)

Fall 4
\ A, B \notin \ g, A und B liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich g

Beweis

Leitgedanke: Die beiden Dreiecke BB'C und AA'C sind gleichschenklig (trivial)
Es gibt den Schnittpunkt C = AB geschnitten A'B', wegen A und B befinden sich in verschiedenen Halbebenen + wäre wenn nicht widerspruch zur gleischenkligkeit (mittelsenkrechtenkriterium)
und daraus würde dann die Gleichheit folgen.
müsste noch ausformuliert werden. --Peterpummel 22:23, 7. Nov. 2011 (CET)

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegeleachse eindeutig bestimmt.

Der Beweis kann direkt geführt werden, da er dem Beweis der Eindeutigkeit des Mittelpunktes nachgeht. Nehmen wir aber dennoch an, es gibt eine zweite Spiegelgerade f, mit f\neq g.

Es seien P ein Punkt und P' das Bild des Punktes P. P' entstand durch Spiegelung an g.
Der Schnittpunkt von g \cap \overline{PP'} sei L.

Nach der Definition der Geradenspiegelung (bzw. Bild eines Punktes bei der Spiegelung) ist nun L Mittelpunkt von \overline{PP'} .
Da der Mittelpunkt einer Strecke eindeutig ist, muss nun gelten, dass f ebenfalls durch L verläuft und senkrecht ist. Da aber nach dem Winkelkonstruktionsaxiom nur ein Winkel mit dem Maß 90 existiert, muss f \equiv g sein, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist. --Flo60 21:29, 31. Okt. 2011 (CET)

Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung \ S ist durch die Angabe eines Punktes \ P und dem Bild von \ S(P) eindeutig bestimmt, falls \ P \not= S(P) gilt.


Nach zu Grunde legen der Definition des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung geht dieses unmittelbar aus dem Winkelkonstruktionsaxiom hervor und der Eindeutigkeit des Mittelpunktes. --Flo60 21:31, 31. Okt. 2011 (CET)

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