Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010): Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Es sei g eine Gerade und A, B, C drei voneinander verschiedene Punkte. Weiter möge gelten A, B nicht Є g und C Є g. | ||
| + | Zz: Bei Spiegelung an g wird P auf P` abgebildet. | ||
| + | Nach Def. Spiegelung wird C auf C` abgebildet und A auf A`. Da P Є g wird P` ebenfalls auf g abgebildet. Sodass gilt: |AP|=|A`P`|, |CP|=|C`P`| und |AC|=|A`C`|. | ||
| + | Bleibt zz: P = P`. | ||
| + | Dies folgt unmittelbar aus der Abstandstreue von Bewegungen. | ||
| + | Angenommen P` würde nicht mit P zusammenfallen, so gäbe es drei Möglichkeiten. | ||
| + | 1. |AP|=|A`P`| aber |CP|≠|C`P`| oder | ||
| + | 2. |CP|=|C`P`| aber |AP|≠|A`P`| oder | ||
| + | 3. |AP|≠|A`P`| aber |CP|≠|C`P`|. | ||
| + | Jede dieser Möglichkeiten währe ein Wiederspruch zur Abstandstreue. | ||
| + | Daraus folgt. P = P` | ||
| + | Daraus folgt. g ist Fixpunktgerade (demnach gibt es Fixpunktgeraden bei einer Spiegelung) | ||
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===Satz 4.2=== | ===Satz 4.2=== | ||
:: Wenn eine Bewegung <math>\ \phi</math> genau eine Fixpunktgerade <math>\ g</math> hat, so ist sie die Spiegelung an <math>\ g</math>. | :: Wenn eine Bewegung <math>\ \phi</math> genau eine Fixpunktgerade <math>\ g</math> hat, so ist sie die Spiegelung an <math>\ g</math>. | ||
===Beweis von Satz 4.2=== | ===Beweis von Satz 4.2=== | ||
Version vom 2. November 2010, 09:50 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Satz 4.1
- Jede Geradenspiegelung besitzt genau eine Fixpunktgerade.
Beweis von Satz 4.1
1.Existenz
Es sei g eine Gerade und A, B, C drei voneinander verschiedene Punkte. Weiter möge gelten A, B nicht Є g und C Є g. Zz: Bei Spiegelung an g wird P auf P` abgebildet. Nach Def. Spiegelung wird C auf C` abgebildet und A auf A`. Da P Є g wird P` ebenfalls auf g abgebildet. Sodass gilt: |AP|=|A`P`|, |CP|=|C`P`| und |AC|=|A`C`|. Bleibt zz: P = P`. Dies folgt unmittelbar aus der Abstandstreue von Bewegungen. Angenommen P` würde nicht mit P zusammenfallen, so gäbe es drei Möglichkeiten. 1. |AP|=|A`P`| aber |CP|≠|C`P`| oder 2. |CP|=|C`P`| aber |AP|≠|A`P`| oder 3. |AP|≠|A`P`| aber |CP|≠|C`P`|. Jede dieser Möglichkeiten währe ein Wiederspruch zur Abstandstreue. Daraus folgt. P = P` Daraus folgt. g ist Fixpunktgerade (demnach gibt es Fixpunktgeraden bei einer Spiegelung)
Satz 4.2
- Wenn eine Bewegung
genau eine Fixpunktgerade 
hat, so ist sie die Spiegelung an .
- Wenn eine Bewegung
