Grundlagen Beweise(SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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Wie gehen von der folgenden Implikation aus:<br /> | Wie gehen von der folgenden Implikation aus:<br /> | ||
| − | '''Wenn | + | '''Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann halbieren sich seine Diagonalen.'''<br /> |
Allgemein lässt sich eine Aussage "Wenn A dann B" schreiben als <math> A \Rightarrow B </math>. <br /> | Allgemein lässt sich eine Aussage "Wenn A dann B" schreiben als <math> A \Rightarrow B </math>. <br /> | ||
| − | <math> A </math> ist dann Voraussetzung | + | <math> A </math> ist dann Voraussetzung: Das betrachtete Viereck ist ein Quadrat.<br /> <math> B </math> ist Behauptung: Die Diagonalen des betrachteten Vierecks halbieren einander.<br /> |
Die Umkehrung zu einer Aussage vertauscht Voraussetzung und Behauptung.<br /> | Die Umkehrung zu einer Aussage vertauscht Voraussetzung und Behauptung.<br /> | ||
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Die Umkehrung zum Beispiel lautet:<br /> | Die Umkehrung zum Beispiel lautet:<br /> | ||
| − | '''Wenn sich | + | '''Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks halbieren, dann ist das Viereck ein Quadrat.'''<br /> |
Aussagen können wahr oder falsch sein. <br /> | Aussagen können wahr oder falsch sein. <br /> | ||
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Nur wenn sowohl die Implikation als auch die dazugehörige Umkehrung wahr sind, lässt sich die Aussage als Äquivalenz <math>A \Leftrightarrow B</math> schreiben. <br /> | Nur wenn sowohl die Implikation als auch die dazugehörige Umkehrung wahr sind, lässt sich die Aussage als Äquivalenz <math>A \Leftrightarrow B</math> schreiben. <br /> | ||
Sprechweise: "<math>A</math> genau dann wenn <math>B</math>"<br /><br /> | Sprechweise: "<math>A</math> genau dann wenn <math>B</math>"<br /><br /> | ||
| − | Im obigen Beispiel geht das NICHT! | + | Im obigen Beispiel geht das NICHT!<br /><br /> |
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| + | Ist die folgende Aussage wahr?<br /> | ||
| + | '''Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks nicht halbieren, dann ist das Viereck kein Quadrat.'''<br /><br /> | ||
| + | Diese Aussage ist die Kontraposition zur ursprünglichen Implikation.<br /> | ||
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| + | Allgemein: Zur Implikation <math> A \Rightarrow B </math> lautet die Kontraposition <math>\neg B\Rightarrow \neg A </math>.<br /> | ||
| + | Die Kontraposition ist gleichwertig zur ursprünglichen Implikation:<br /> | ||
| + | <math> (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B\Rightarrow \neg A) </math>.<br /><br /> | ||
== Grundlagen des Beweisens == | == Grundlagen des Beweisens == | ||
Aktuelle Version vom 2. Mai 2012, 14:18 Uhr
Wiederholung und Rückblick
Wie gehen von der folgenden Implikation aus:
Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann halbieren sich seine Diagonalen.
Allgemein lässt sich eine Aussage "Wenn A dann B" schreiben als 
.
ist dann Voraussetzung: Das betrachtete Viereck ist ein Quadrat.
ist Behauptung: Die Diagonalen des betrachteten Vierecks halbieren einander.
Die Umkehrung zu einer Aussage vertauscht Voraussetzung und Behauptung.
Die Umkehrung zu ist also 
.
Die Umkehrung zum Beispiel lautet:
Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks halbieren, dann ist das Viereck ein Quadrat.
Aussagen können wahr oder falsch sein.
Diese Umkehrung ist falsch, was sich leicht an einem Gegenbeispiel zeigen lässt:
Nur wenn sowohl die Implikation als auch die dazugehörige Umkehrung wahr sind, lässt sich die Aussage als Äquivalenz 
schreiben.
Sprechweise: " genau dann wenn "
Im obigen Beispiel geht das NICHT!
Ist die folgende Aussage wahr?
Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks nicht halbieren, dann ist das Viereck kein Quadrat.
Diese Aussage ist die Kontraposition zur ursprünglichen Implikation.
Allgemein: Zur Implikation lautet die Kontraposition 
.
Die Kontraposition ist gleichwertig zur ursprünglichen Implikation:
.
Grundlagen des Beweisens
Wie kann eine Implikation bewiesen werden?
- direkt
- indirekt
