Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine Verknüpfung <math>\odot</math> bzw. einer Operation auf einer Menge M ist eine '''Gruppe''', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:<br />
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<math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b \in M</math><br />
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'''2. Assoziativität:''' die  Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M ist assoziativ<br />
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<math> \quad \quad \forall a,b,c \in M: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math><br />
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'''3. Neutrales Element:''' Innerhalb der Menge M gibt es ein neutrales Element e <br />
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'''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element aus M gibt es ein Inverses Element <br />
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<math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad</math> mit <math>a^{-1} \in M</math> und e = neutrales Element<br /><br />
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Erfüllt eine Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M hingegen nicht alle Punkte, aber mindestnes die <u>Abgeschlossenheit</u> und die <u>Assoziativität</u>, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''.<br /><br />
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Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe'''<br />
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'''5. Kommutativität:''' Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit <math>\odot</math> Verknüpft werden ist egal<br />
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Man spricht nicht davon, dass die Menge bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen ist, sondern dass die Verknüpfung auf der Menge abgeschlossen ist also nicht aus der Menge hinausführt.<br />
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Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung <math>\oplus</math> auf <math>\mathbb{Z}_4</math> kommutativ ist:<br />
 
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung <math>\oplus</math> auf <math>\mathbb{Z}_4</math> kommutativ ist:<br />
 
*<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}</math>.<br />
 
*<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}</math>.<br />
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Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.
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Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.<br /><br />
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==Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats==
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Hierbei verstehen wir unter <math>D_Q</math> die Menge aller Drehungen die das Quadrat <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden:<br />
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Die Verknüpfung sei die NAF.<br /><br />
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Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br />
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<u>'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:'''</u><br />
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1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle<br />
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2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ<br />
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3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />
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4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{90} \cdot D_{270} = D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}</math><br />
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5. Kommutativ: Drehungen sind immer kommutativ<br /><br />
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Es handelt sich also sogar um eine abelsche Gruppe.<br /><br />
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Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe.<br /><br />
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==Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks==
 
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Unter <math>D_R</math> wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum <math>Z</math>) und Geradenspiegelungen:<br />
 
Unter <math>D_R</math> wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum <math>Z</math>) und Geradenspiegelungen:<br />
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<math>D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}</math><br />
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<math>D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}</math><br /><br />
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Als Verknüpfung wählen wir die NAF von Abbildungen.
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Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br />
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[[Bild:Verknüpfungstafel_DR.4.JPG| 200px]]<br /><br />
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<u>'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:'''</u><br />
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1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle<br />
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2. Assoziativität: Gegeben <br />
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3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />
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4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>S_{m} \cdot S_{m} = D_{0}</math> und <math>S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}</math><br /><br />
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Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch '''Kleinsche Vierergruppe''' genannt.<br /><br />
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--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:17, 12. Dez. 2012 (CET)<br /><br />
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Aktuelle Version vom 15. Januar 2013, 16:54 Uhr


Inhaltsverzeichnis

Gruppeneigenschaften

Eine Verknüpfung \odot bzw. einer Operation auf einer Menge M ist eine Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. Abgeschlossenheit: die Verknüfung \odot auf der Menge M ist abgeschlossen: Verknüpft man ein Element der Menge mit einem anderen Element der Menge, erhält man wiederum ein Element der Menge
\quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b \in M
2. Assoziativität: die Verknüfung \odot auf der Menge M ist assoziativ
\quad \quad \forall a,b,c \in M: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)
3. Neutrales Element: Innerhalb der Menge M gibt es ein neutrales Element e
\quad \quad \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a
4. Inverse Elemente: Für jedes Element aus M gibt es ein Inverses Element
\quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad mit a^{-1} \in M und e = neutrales Element

Erfüllt eine Verknüfung \odot auf der Menge M hingegen nicht alle Punkte, aber mindestnes die Abgeschlossenheit und die Assoziativität, so handelt es sich um eine Halbgruppe.

Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine kommutative bzw. abelsche Gruppe
5. Kommutativität: Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit \odot Verknüpft werden ist egal
\quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b = b \odot a

--Jessy* 11:38, 12. Dez. 2012 (CET)

Bemerkung --*m.g.* 14:14, 12. Dez. 2012 (CET):
Vielen Dank für Ihre Bemühungen. bezüglich der Abgeschlossenheit muss ein wenig korrigiert werden:
Man spricht nicht davon, dass die Menge bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen ist, sondern dass die Verknüpfung auf der Menge abgeschlossen ist also nicht aus der Menge hinausführt.
--Jessy* 15:54, 15. Jan. 2013 (CET) Stimmt es nun so?

Beispiele für endliche Gruppen

Restklassen modulo 4

\mathbb{Z}_4:=\left\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \right\}
mit
\overline{0}:=\left\{..., -8, -4, 0, 4, 8, ...\right\} (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
\overline{1}:=\left\{..., -7, -3, 1, 5, 9, ...\right\} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
\overline{2}:=\left\{..., -6, -2, 2, 6, 10, ...\right\} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
\overline{3}:=\left\{..., -5, -1, 3, 7, 11, ...\right\} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),

Wir definieren auf \mathbb{Z}_4 eine Verknüpfung \oplus wie folgt:
\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a}\oplus \overline{b} := \overline{a+b}

Die Struktur \left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right) ist eine Gruppe:

  1. Die Verknüpfung \oplus ist auf der Menge \mathbb{Z}_4 abgeschlossen, d.h. \forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} \in \mathbb{Z}_4,
  2. Die Verknüpfung \oplus ist auf der Menge \mathbb{Z}_4 assoziativ, d.h. \forall \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \in \mathbb{Z}_4: \left(\overline{a} \oplus \overline{b} \right) \oplus \overline{c}= \overline{a} \oplus \left( \overline{b} \oplus \overline{c} \right),
  3. \mathbb{Z}_4 hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse \overline{0}, d.h. \forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{0}= \overline{0} \oplus \overline{a} = \overline{a},
  4. Zu jedem Element aus \mathbb{Z}_4 gibt es ein inverses Element, d.h. \forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4 \exist \left(-\overline{a}\right): \overline{a} \oplus \left(-\overline{a}\right) = \left(-\overline{a}\right) \oplus \overline{a} = \overline{0} .

Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:



Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.

Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe \left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right):
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung \oplus auf \mathbb{Z}_4 kommutativ ist:

  • \forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}.

Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.

Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats

Hierbei verstehen wir unter D_Q die Menge aller Drehungen die das Quadrat \overline{ABCD} auf sich selbst abbilden:
D_Q:=\left\{D_{0}, D_{90}, D_{180}, D_{270}\right\}

Die Verknüpfung sei die NAF.

Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:
Verknüpfungstafel DR.3JPG.JPG

Überprüfung der Gruppeneigenschaften:
1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle
2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ
3. Neutrales Element: D_{0}
4. Inverse Elemente: D_{0} \cdot D_{0}= D_{0} und D_{90} \cdot D_{270} = D_{0} und D_{180} \cdot D_{180} = D_{0} und D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}
5. Kommutativ: Drehungen sind immer kommutativ

Es handelt sich also sogar um eine abelsche Gruppe.

Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe.

--Jessy* 16:26, 11. Dez. 2012 (CET)

Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks

Decvkabbildungen Rechteck.png
Unter D_R wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck \overline{ABCD} auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum Z) und Geradenspiegelungen:
D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}

Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:
Verknüpfungstafel DR.4.JPG

Überprüfung der Gruppeneigenschaften:
1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle
2. Assoziativität: Gegeben
3. Neutrales Element: D_{0}
4. Inverse Elemente: D_{0} \cdot D_{0}= D_{0} und D_{180} \cdot D_{180} = D_{0} und S_{m} \cdot S_{m} = D_{0} und S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}

Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch Kleinsche Vierergruppe genannt.

--Jessy* 10:17, 12. Dez. 2012 (CET)

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