Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12

Beispiele für endliche Gruppen

Restklassen modulo 4

$\mathbb{Z}_4:=\left\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \right\}$
mit
$\overline{0}:=\left\{..., -8, -4, 0, 4, 8, ...\right\}$ (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
$\overline{1}:=\left\{..., -7, -3, 1, 5, 9, ...\right\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
$\overline{2}:=\left\{..., -6, -2, 2, 6, 10, ...\right\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
$\overline{3}:=\left\{..., -5, -1, 3, 7, 11, ...\right\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),

Wir definieren auf $\mathbb{Z}_4$ eine Verknüpfung $\oplus$ wie folgt:
$\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a}\oplus \overline{b} := \overline{a+b}$

Die Struktur $\left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right)$ ist eine Gruppe:

1. Die Verknüpfung $\oplus$ ist auf der Menge $\mathbb{Z}_4$ abgeschlossen, d.h. $\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} \in \mathbb{Z}_4$,
2. Die Verknüpfung $\oplus$ ist auf der Menge $\mathbb{Z}_4$ assoziativ, d.h. $\forall \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \in \mathbb{Z}_4: \left(\overline{a} \oplus \overline{b} \right) \oplus \overline{c}= \overline{a} \oplus \left( \overline{b} \oplus \overline{c} \right)$,
3. $\mathbb{Z}_4$ hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse $\overline{0}$, d.h. $\forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{0}= \overline{0} \oplus \overline{a} = \overline{a}$,
   
4. Zu jedem Element aus $\mathbb{Z}_4$ gibt es ein inverses Element, d.h. $\forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4 \exist \left(-\overline{a}\right): \overline{a} \oplus \left(-\overline{a}\right) = \left(-\overline{a}\right) \oplus \overline{a} = \overline{0}$