Version vom 5. November 2017, 18:52 Uhr

Linksinvers gleich Rechtsinvers

Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe.
$\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c$

Es sei $b$ das Linksinverse bzgl. $\odot$ von $a$ .
Wir multiplizieren $b$ von rechts mit $a$ :

(I)	$a \odot b = e \odot a \odot b$	(Wir haben $a$ mit $b$ von rechts multipliziert
(II)	$a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b$	(Auch $b$ hat ein Linksinverses $b^{-1}$
(III)	$a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b$	(Assoziativität)
(IV)	$a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b$	( $b$ ist das Linksinverse von $a$ )
(V)	$a \odot b = b^{-1} \odot b$	(Eigenschaften des Einselements)
(VI)	$a \odot b = e$	( $b^{-1}$ ist das Linksinverse von $b$

Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von $a$ auch Rechtsinverses von $a$ ist.

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+=Linksinvers gleich Rechtsinvers=
+==Satz 1==
+Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe.<br />
+<math>\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c</math>
+==Beweis von Satz 1==
+Es sei <math>b</math> das Linksinverse bzgl. <math>\odot</math> von <math>a</math>. <br />
+Wir multiplizieren <math>b</math> von rechts mit <math>a</math>:
+{|
+|-
+| (I)|| <math>a \odot b = e \odot a \odot b </math>|| (Wir haben <math>a</math> mit <math>b</math> von rechts multipliziert
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+| (II) || <math>a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b </math> ||(Auch <math>b</math> hat ein Linksinverses <math>b^{-1}</math>
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+|(III) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b </math> || (Assoziativität)
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+|(IV) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b </math> || (<math>b</math> ist das Linksinverse von <math>a</math>)
+|-
+| (V) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot b </math> || (Eigenschaften des Einselements)
+|-
+| (VI) || <math>a \odot b = e </math> || (<math>b^{-1}</math> ist das Linksinverse von <math>b</math>
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+Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.
 <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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 [[Kategorie:Algebra]]