Gruppendefinition (lang)

Definition 1: (Algebraische Struktur) Eine Menge $S$ zusammen mit einer Operation $o$ oder Relation $r$ auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. Schreibweise: $[S, o]$ bzw $[S, r]$ Definition 2: (Halbgruppe) Eine algebraische Struktur $[H, \odot]$ heißt Halbgruppe, wenn $\odot$ auf $H$ abgeschlossen und assoziativ ist. D.h. es gilt: (Abgeschlossenheit) $\forall a,b \in H: a \odot b \in H$ (Assoziativität) $\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)$. Definition 3: (Monoid) Eine Halbgruppe $[M, \odot]$ heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat: (Einselement) $\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a$ Definition 4: (Gruppe) Ein Monoid $[G, \odot]$ heißt Gruppe, wenn jedes Element von $G$ in $G$ ein inverses Element bzgl. $\odot$ hat: (inverse Elemente) $\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e$