Gruppendefinition (lang)

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Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Definition 1: (Algebraische Struktur)

Eine Menge S zusammen mit einer Operation o oder Relation r auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur.

Schreibweise:
[S, o] bzw [S, r]

Definition 2: (Halbgruppe)

Eine algebraische Struktur [H, \odot] heißt Halbgruppe, wenn \odot auf H abgeschlossen und assoziativ ist.
D.h. es gilt:

  1. (Abgeschlossenheit) \forall a,b \in H: a \odot b \in H
  2. (Assoziativität) \forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c).

Definition 3: (Monoid)

Eine Halbgruppe [M, \odot] heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:

  • (Einselement) \exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a

Definition 4: (Gruppe)

Ein Monoid [G, \odot] heißt Gruppe, wenn jedes Element von  G in  G ein inverses Element bzgl. \odot hat:

  • (inverse Elemente) \forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e

Bemerkungen