Lösung von Aufg. 12.3 SS11: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>\ 1. Fall: \ P \neq \ M</math><br>
 
<math>\ 1. Fall: \ P \neq \ M</math><br>
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<math>\ 1) \bigtriangleup \overline{ABP} \ ist \ gleichschenklig \ (Vor, \ Def. \ gleichschenkliges \bigtriangleup \ )</math>
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<math>\ 1) \ bigtriangleup \overline{ABP} \ ist \ gleichschenklig \ (Vor, \ Def. \ gleichschenkliges \ bigtriangleup \ )</math>

Version vom 5. Juli 2011, 13:59 Uhr

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt \ P zu den Endpunkten der Strecke \overline{AB} jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB}.


\ Beweis:

\ V: \overline{AP} \equiv \overline{BP}
\ B: \ P\in \ m \ mit \ m \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \ \overline{AB}

\ Sei \ m \ Mittelpunkt \ von \ \overline{AB}\ ( \ n. \ Existenz \ vom \ Mittelpunkt \ einer \ Strecke)
\ Betrachte \ die \ beiden \ Dreieck \ \overline{AMP}\ und\ \overline{MPB}
\ Es \ gilt \ : \ \overline{AP} \equiv \overline{BP}\ nach \ Voraussetzung\
\ Ferner\ \angle PMA \equiv \angle PBM \ nach \ Basiswinkelsatz
\ und \ \overline{AM} \equiv \overline{MB} \ da \ M \ Mittelpunkt\ ist.
\Rightarrow \ nach \ SWS \ die \ Kongruenz \ der \ beiden \ Dreiecke
\Rightarrow \angle PMA\equiv \angle BMP\Rightarrow \ es \ sind \ rechte \ Winkel \Rightarrow \ PM \ ist \ Mittelsenkrechte
\Rightarrow \ Behauptung--Peterpummel 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST)


\ Vor: \ Punkt \ P, \ Strecke \overline{AB}, \ Mittelsenkrechte \ m \ von \overline{AB}
|\ PA | = | \ PB |
\ Beh: \ P \in \ m

Man muss in zwei Fälle unterscheiden:
\ 1. \ Fall: \ P \neq \ M
\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M

\ 1. Fall: \ P \neq \ M
\ 1) \ bigtriangleup \overline{ABP} \ ist \ gleichschenklig \ (Vor, \ Def. \ gleichschenkliges \ bigtriangleup \ )

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