Lösung von Aufg. 12.3 SS11: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(30 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 9: Zeile 9:
 
<math>\ B: \ P\in \ m \ mit \ m  \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \  \overline{AB}</math>
 
<math>\ B: \ P\in \ m \ mit \ m  \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \  \overline{AB}</math>
  
−
<math> \ Sei  \ m \ Mittelpunkt \ von \ \overline{AB}\ ( \ n. \ Existenz \ vom \ Mittelpunkt \ einer \ Strecke)</math><br>
+
Skizze dazu: (--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:33, 5. Jul. 2011 (CEST))<br />
 +
<ggb_applet width="460" height="353"  version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGyJ5T4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vrdcto4FL7ePoXG9ziW/IOZgXZIe9OZZpPZdHPRm46whdFiLK8tEsjz7AtsX2Hv95n2SLLB/CZAsy2dcmN8dCwdfd/5s6D7ZjZJ0T0rSi6ynoVtx0Isi0TMs6RnTeWwFVpvXr/qJkwkbFBQNBTFhMqe5drEUvIpf/3ql245Eg+IplrljrOHnjWkacksVOYFo3E5YkyuyOl0xlNOi/n14A8WyXI5YCZ5n+VTWEUWU5BFk/gDL+vbC71gnnL5jt/zmBUoFVHPCnwwHb7dsULyiKY9y3OMhPQssjYIIleNjkTBH0Umlfpy8pQOWAoA3Mp5yhC6V6OuGRqCMkIlf2QAFlGy7oXGoMumUcpjTjO1T20iKCH0wGM5AlsCtRrjyUhh52MzWyREEd/OS8kmaPaJFQIsxb7iYG7uXHNXgsmwoO/ooeadnobd3zIpweAS0RlbYpkUPF65eV9einQpygXP5Fuay2mh6XYrkd53z4K1CmVwP0tSVskIsDFi0XggZrcGBNdM/XGe60e0QYPkrUhFgQqFvA8K1XVgrlpHWbrQcrSOozWqOdSki3HcIVpDXwfmaqjimTGt2jmud42dehleIiVQMIKXLjavSe5ZFppmXH6ob8A7xtVWsXng1+lkAOHR9I/FnPhrzdm9WHOf7pgVGUuNk2TA7VRMS+OJZi1tSMwiPoFbM1BBQhVdv4MBRhqzpGC14Sa4DGB61Gk64pq4e1EboWwowdZIQpaA/Ui1lysuJQNTsnHBopFkWeuWykcV2hLCqmf1s4yhT//8NVLOxQoLxVTCYyprsJRNGASS1E6jfW4BXt9aJBShc0OdBarxJQ0wvNWBtKvRNB9RkNQxktI5ZIrmnvV8VyJeRYJmgKjeJkRlriZQnOWMGbpl5eYohwl10DTo0CiWaNazWtgmHoQqGKOefzSZVSuZCFO5YZlXgH6DyBPYXP4I2Li2QcaxQ+I0PwcCFYnJhGYxyugElr1liZJrgLgqHog6ypkQxQo3A8pU1gPUzFbNsQF7Wc1WA0ut1WQjRxDTGStLnRFlM/ftZqeBxi56nOPJWQIMvhdqhD078DSmrdDGfhCup8w9u2B/ZkanNImLT6DgRlwugEwVw+8zCWmM6bSwmZ3GjOWqLFxnHwualapzMDqNrLeDzbe8iFK2RualIdOvkWnQGe2nE9IXjxY8REeSuZrkX5bN55HEE5bdg22iKBGaOVX/NnfMguixlswAtpZpHnAlesSNUIOoLvgM9Wv9fq3VJyqXEbsdtINloIIdfbdao++Bhg7pvq8X2Qjqrf4EWSPiQx4d4Qb93W4QH+IG8U83OMwNOrbjq6q2wr0pdJp7VepOIHuRTNb4jgzfMVxUJ7+F9pv9tK/W0JujaqhKpIm5DMzl9DxNADrfC31CMPT5vh/4Omv7dhB6Yeh2SJsEYdhxX6ws3mwgOTisLA5esCzWLw7YqVp+dT0ddMhV/jq8c92UhCtctE3hxBhyn9du+47r+ZADO+3zKaLbub/Z1RKxw7hn58e9Z4fBJvUYeiPPx0ByCIHneW7VM+E2+ETbddpeGxMXnON8mL/isUl6q9TTDc6vDsmcV99N5oRkGFbcecEp6VEfbWxvM/um3mzmyH//3g+afv9egALa6nkwZlqZBKYGYUBcgsNO6Hge7pz04oCdzS4DPxPYjUOUPS5Ni6gBay1MU/HwGxumbKahfK6DbsN9kZg07v1N3L8chPuXn7g/tyRc7WoHhoeVhOH/9JZ80iFGoxXwbEK21oNgpRUw9YBA8cAkCMB9XNIJOiQ4n3pwI9J5IrLttF/uSnR3HOaLxtio5UZtAhfo/wef8VOlwyxZ07qY7Ou6CLzSxdwcSYH6daWdbPoP9l3tQT4+Omqd/Ud169GQv+T75Z7tHB0Pjh24nZVPdYLpEtMRebbTDpsq33ME7Cdncm7ktLY3r60d3etZNa9PvGR+PjZpfDOytheW1o7K0vphS8vNrl6uqgbEqNHPuCou+guUl/zI8kK+VXlR3qN+5XS8LR3KCxUY+rKBsXdLP5uuw0vOOdK1/bSsteO47LxOy55o386RLmjhvPXfVKsWbkXsNho673w4GgiRMrrM+sn6O35jmVN+JX9+E3A9HJZM6tP8kJiTZAfv5Yrmup5o2VhkCRgDcKF3BeNQwDYAuGj+9UL/26j6J9br/wBQSwcIkpygbmIGAAC7JQAAUEsBAhQAFAAIAAgAbInlPpKcoG5iBgAAuyUAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAACcBgAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 +
<br />
 +
 
 +
<math> \ Sei  \ M \ Mittelpunkt \ von \ \overline{AB}\ ( \ n. \ Existenz \ vom \ Mittelpunkt \ einer \ Strecke)</math><br>
 
<math> \ Betrachte \ die \ beiden \ Dreieck \  \overline{AMP}\ und\ \overline{MPB} </math> <br>
 
<math> \ Betrachte \ die \ beiden \ Dreieck \  \overline{AMP}\ und\ \overline{MPB} </math> <br>
 
<math> \ Es \ gilt \ : \ \overline{AP} \equiv \overline{BP}\  nach \ Voraussetzung\ </math>  <br>
 
<math> \ Es \ gilt \ : \ \overline{AP} \equiv \overline{BP}\  nach \ Voraussetzung\ </math>  <br>
−
<math>\ Ferner\  \angle PMA \equiv \angle PBM \ nach \ Basiswinkelsatz</math><br>
+
<math>\ Ferner\  \angle PMA \equiv \angle PBM \ nach \ Basiswinkelsatz</math> (davor sollte man noch sagen, das hier ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt > wo sollen sonst Basiswinkel vorliegen?)<br>
 
<math>\ und \ \overline{AM} \equiv \overline{MB} \ da \ M \ Mittelpunkt\ ist.</math><br>
 
<math>\ und \ \overline{AM} \equiv \overline{MB} \ da \ M \ Mittelpunkt\ ist.</math><br>
 
<math>\Rightarrow \ nach \ SWS \ die \ Kongruenz \ der \ beiden \ Dreiecke</math><br>
 
<math>\Rightarrow \ nach \ SWS \ die \ Kongruenz \ der \ beiden \ Dreiecke</math><br>
−
<math>\Rightarrow \angle PMA\equiv \angle BMP\Rightarrow \ es \ sind \ rechte \ Winkel \Rightarrow \ PM \ ist  \ Mittelsenkrechte</math><br><math>\Rightarrow \ Behauptung</math>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST)
+
<math>\Rightarrow \angle PMA\equiv \angle BMP\Rightarrow \ es \ sind \ rechte \ Winkel \Rightarrow \ PM \ ist  \ Mittelsenkrechte</math><br><math>\Rightarrow \ Behauptung</math>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST)<br><br>
 +
Der Beweis ist gut, allerdings solltest du wie Phil den 2. Fall nicht vergessen, denn dann ergeben sich ja keine Dreiecke.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:33, 5. Jul. 2011 (CEST)<br /><br />
 +
 
 +
Lösungsvorschlag 2:
 +
 
 +
<math>\ Vor: \ Punkt \ P, \ Strecke \overline{AB}, \ Mittelsenkrechte \ m \ von \overline{AB}</math><br>
 +
<math>|\ PA | = | \ PB |</math><br>
 +
<math>\ Beh: \ P \in \ m </math><br><br>
 +
 
 +
Man muss in zwei Fälle unterscheiden: <br>
 +
<math>\ 1. \ Fall: \ P \neq \ M</math><br>
 +
<math>\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M</math><br><br>
 +
 +
<math>\ 1. Fall: \ P \neq \ M</math><br>
 +
 
 +
<ggb_applet width="460" height="353"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 +
 
 +
<math>\ 1) \triangle \overline{ABP} \ ist \ gleichschenklig \ (Vor, \ Def. \ gleichschenkliges \triangle \ )</math><br>
 +
<math>\ 2) \exists \ Winkelhalbierende \ w \ des \angle \ APB \ (Existenz \ und \ Eindeutigkeit \ der \ Winkelhalbierenden)</math><br>
 +
<math>\ 3) \ w \ teilt \angle \ APB \ in \ y1 \ und \ y2, \ y1 \ = \ y2 \ (Def. \ Winkelhalbierende)</math><br>
 +
<math>\ 4) \ w \cap \overline{AB} \ = \ P2 \ (Lemma1)</math><br>
 +
<s> 5)</s><math>|\ PA | = | \ PB | \ (Vor.) </math><br>
 +
<s> 6) </s> <math>\ y1 \ = \ y2 \ (3)</math> Nicht einfach Schritte oder Vorausetzung wiederholen!<br>
 +
<math>\ 7) \angle \ PAB \cong \angle \ PBA \ (1, \ Basiswinkelsatz)</math><br>
 +
<math>\ 8) \triangle \ APP2 \cong \triangle \ BPP2 \ (WSW, \ 5, \ 6, \ 7)</math><br>
 +
<math>\ 9) \angle | \ AP2P  | \ = \angle | \ BP2P | \ = \ 90 </math> (8, Def. Nebenwinkel, Supplementaxiom)<br>
 +
<math>\ 10) | \overline{AP2} | \ = | \overline{BP2}</math>  (8) <br>
 +
<math>\ 11) \ P2 \ = \ M, \ w \ = \ m</math>  (10, Def. Mittelpunkt, 9, Def. Mittelsenkrechte) <br>
 +
<math>\ 12) \ P \in \ m</math> (9, 10, 11)<br><br>
 +
Ich denke, auch so kann Fall I beweisen werden. Scheint mir aufwendiger, aber auch richtig. Gut!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:57, 5. Jul. 2011 (CEST)<br /><br />
 +
 
 +
<math>\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M</math><br>
 +
<math>\ 1) | \ PA | \ = | \ MA | \, | \ Pm | \ = | \ M | </math> (Annahme 2. Fall) (Hier verstehe ich nicht, was du damit zeigen willst. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:57, 5. Jul. 2011 (CEST))<br>
 +
<math>\ 2) \ P \ ist \ Mittelpunkt \ von \overline{AB}</math>  (Def. Mittelpunkt, 1) <br>
 +
<math>\ 3) \ P \in \ m</math>  (2, Def. Mittelsenkrechte)--[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 15:04, 5. Jul. 2011 (CEST)<br />
 +
 
 +
 
 +
zum 2. Fall: <br />
 +
zu zeigen ist ja hier nur, dass P Element der Mittelsenkrechten ist:<br />
 +
da P=M ist PA = PB (die Strecken) und somit ist ja nach Def. Mittelsenkrechte erfüllt, <br />
 +
dass er auf m liegt. (die Gerade m durch P kann ja dann senkrecht stehen)<br />
 +
Oder muss man dann noch einen weiteren Punkt außerhalb der Gerade AB annehmen, der mit<br />
 +
P eine Senkrechte (Ex und Eind. Senkrechte zu einem Punkt) durch AB bildet?<br />
 +
Bitte um einen Kommentar....danke--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 10:31, 15. Jul. 2011 (CEST)
 +
<br /><br />
 +
Nein das genügt für Fall 2. Es ist nicht mehr zu zeigen; das ist nur ein einfacher Schritt:<br />
 +
<math> \ P \in \ m</math> nach Definiton Mittelsenkrechte und Voraussetzung P ist Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> <br />
 +
Wichtig ist, dass man den zweiten Fall nicht vergisst!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:29, 17. Jul. 2011 (CEST)
 +
 
 +
<br /><br /><br />
 +
 
 +
Wie schaut es denn damit aus: Fall eins schenke ich mir aus Zeitgründen, dass P=M ist.
 +
<br />
 +
<br />
 +
 
 +
Voraussetzung: nkoll(A,B,C), <math>\left| AC \right|  = \left| BC \right|</math> <br />
 +
Behauptung: <math>C \in</math> der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> <br />
 +
Annahme: <math>C \not\in</math> der Mittelsenkrechten
 +
 
 +
 
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| 1 || Es existiert genau eine Gerade g mit <math>M \in g \wedge \ g \perp \ \overline{AB}  </math> || Nach ex. und eind. MS
 +
|-
 +
| 2 || wegen der Annahme, dass C kein Element vong ist, schneidet g das Dreieck ABC in einer weiteren Seite im Punkt D. Sei dies oBdA <math>\overline{AC}</math> || Axiom von Pasch, Annahme, (1)
 +
|-
 +
| 3 || <math>\left| AD \right| = \left| DB \right|</math> || Mittelsenkrechte Satz "=>"
 +
|-
 +
| 4 || <math>\alpha \cong \beta</math> || Nach Voraussetzung und Basiswinkelsatz (Alpha ist der Ursprüngliche Winkel um A und Beta der ursprüngliche Winkel um B
 +
|-
 +
| 5 || <math>\alpha \cong \beta '</math> || Nach Konstruktion (3) und Basiswinkelsatz (Beta' ist der neue Winkel um ABD
 +
|-
 +
| 6 || <math>\beta' \cong \beta</math> || Rechnen in R, (4) und (5)
 +
|-
 +
| 7 || In AB,C+ existiert genau ein Winkel <math>|\angle ABD| = \beta</math> || Winkelkonstruktionsaxiom, (6)
 +
|-
 +
| 8 || Strahl BC+ ist Identisch mit BD+ und schneidet somit AC im Punkt C und im Punkt D || (2), (7)
 +
|-
 +
| 9 || AC und BC sind identisch nach dem Satz aus der Inzidenzgeometrie und weil sie zwei gemeinsame Punkte haben, was ein WIEDERSPRUCH ist zur Annahme, dass die Punkte A, B und C nicht kollinear sind.
 +
|}
  
−
<math>\VSS: \Punkt \P, \Strecke \overline{AB}, \Mittelsenkrechte \m \von \overline{AB}</math><br>
+
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 15:35, 26. Jul. 2011 (CEST)  --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:49, 26. Jul. 2011 (CEST)
−
<math>|PA|=|PB|</math>
+

Aktuelle Version vom 26. Juli 2011, 20:49 Uhr

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt \ P zu den Endpunkten der Strecke \overline{AB} jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB}.


\ Beweis:

\ V: \overline{AP} \equiv \overline{BP}
\ B: \ P\in \ m \ mit \ m \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \ \overline{AB}

Skizze dazu: (--Tutorin Anne 17:33, 5. Jul. 2011 (CEST))


\ Sei \ M \ Mittelpunkt \ von \ \overline{AB}\ ( \ n. \ Existenz \ vom \ Mittelpunkt \ einer \ Strecke)
\ Betrachte \ die \ beiden \ Dreieck \ \overline{AMP}\ und\ \overline{MPB}
\ Es \ gilt \ : \ \overline{AP} \equiv \overline{BP}\ nach \ Voraussetzung\
\ Ferner\ \angle PMA \equiv \angle PBM \ nach \ Basiswinkelsatz (davor sollte man noch sagen, das hier ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt > wo sollen sonst Basiswinkel vorliegen?)
\ und \ \overline{AM} \equiv \overline{MB} \ da \ M \ Mittelpunkt\ ist.
\Rightarrow \ nach \ SWS \ die \ Kongruenz \ der \ beiden \ Dreiecke
\Rightarrow \angle PMA\equiv \angle BMP\Rightarrow \ es \ sind \ rechte \ Winkel \Rightarrow \ PM \ ist \ Mittelsenkrechte
\Rightarrow \ Behauptung--Peterpummel 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST)

Der Beweis ist gut, allerdings solltest du wie Phil den 2. Fall nicht vergessen, denn dann ergeben sich ja keine Dreiecke.--Tutorin Anne 17:33, 5. Jul. 2011 (CEST)

Lösungsvorschlag 2:

\ Vor: \ Punkt \ P, \ Strecke \overline{AB}, \ Mittelsenkrechte \ m \ von \overline{AB}
|\ PA | = | \ PB |
\ Beh: \ P \in \ m

Man muss in zwei Fälle unterscheiden:
\ 1. \ Fall: \ P \neq \ M
\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M

\ 1. Fall: \ P \neq \ M

\ 1) \triangle \overline{ABP} \ ist \ gleichschenklig \ (Vor, \ Def. \ gleichschenkliges \triangle \ )
\ 2) \exists \ Winkelhalbierende \ w \ des \angle \ APB \ (Existenz \ und \ Eindeutigkeit \ der \ Winkelhalbierenden)
\ 3) \ w \ teilt \angle \ APB \ in \ y1 \ und \ y2, \ y1 \ = \ y2 \ (Def. \ Winkelhalbierende)
\ 4) \ w \cap \overline{AB} \ = \ P2 \ (Lemma1)
5)|\ PA | = | \ PB | \ (Vor.)
6) \ y1 \ = \ y2 \ (3) Nicht einfach Schritte oder Vorausetzung wiederholen!
\ 7) \angle \ PAB \cong \angle \ PBA \ (1, \ Basiswinkelsatz)
\ 8) \triangle \ APP2 \cong \triangle \ BPP2 \ (WSW, \ 5, \ 6, \ 7)
\ 9) \angle | \ AP2P | \ = \angle | \ BP2P | \ = \ 90 (8, Def. Nebenwinkel, Supplementaxiom)
\ 10) | \overline{AP2} | \ = | \overline{BP2} (8)
\ 11) \ P2 \ = \ M, \ w \ = \ m (10, Def. Mittelpunkt, 9, Def. Mittelsenkrechte)
\ 12) \ P \in \ m (9, 10, 11)

Ich denke, auch so kann Fall I beweisen werden. Scheint mir aufwendiger, aber auch richtig. Gut!--Tutorin Anne 17:57, 5. Jul. 2011 (CEST)

\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M
\ 1) | \ PA | \ = | \ MA | \, | \ Pm | \ = | \ M | (Annahme 2. Fall) (Hier verstehe ich nicht, was du damit zeigen willst. --Tutorin Anne 17:57, 5. Jul. 2011 (CEST))
\ 2) \ P \ ist \ Mittelpunkt \ von \overline{AB} (Def. Mittelpunkt, 1)
\ 3) \ P \in \ m (2, Def. Mittelsenkrechte)---phil- 15:04, 5. Jul. 2011 (CEST)


zum 2. Fall:
zu zeigen ist ja hier nur, dass P Element der Mittelsenkrechten ist:
da P=M ist PA = PB (die Strecken) und somit ist ja nach Def. Mittelsenkrechte erfüllt,
dass er auf m liegt. (die Gerade m durch P kann ja dann senkrecht stehen)
Oder muss man dann noch einen weiteren Punkt außerhalb der Gerade AB annehmen, der mit
P eine Senkrechte (Ex und Eind. Senkrechte zu einem Punkt) durch AB bildet?
Bitte um einen Kommentar....danke--mm_l 10:31, 15. Jul. 2011 (CEST)

Nein das genügt für Fall 2. Es ist nicht mehr zu zeigen; das ist nur ein einfacher Schritt:

 \ P \in \ m nach Definiton Mittelsenkrechte und Voraussetzung P ist Mittelpunkt von \overline{AB}

Wichtig ist, dass man den zweiten Fall nicht vergisst!--Tutorin Anne 10:29, 17. Jul. 2011 (CEST)




Wie schaut es denn damit aus: Fall eins schenke ich mir aus Zeitgründen, dass P=M ist.

Voraussetzung: nkoll(A,B,C), \left| AC \right| = \left| BC \right|
Behauptung: C \in der Mittelsenkrechten von \overline{AB}
Annahme: C \not\in der Mittelsenkrechten


1 Es existiert genau eine Gerade g mit M \in g \wedge \ g \perp \ \overline{AB} Nach ex. und eind. MS
2 wegen der Annahme, dass C kein Element vong ist, schneidet g das Dreieck ABC in einer weiteren Seite im Punkt D. Sei dies oBdA \overline{AC} Axiom von Pasch, Annahme, (1)
3 \left| AD \right| = \left| DB \right| Mittelsenkrechte Satz "=>"
4 \alpha \cong \beta Nach Voraussetzung und Basiswinkelsatz (Alpha ist der Ursprüngliche Winkel um A und Beta der ursprüngliche Winkel um B
5 \alpha \cong \beta ' Nach Konstruktion (3) und Basiswinkelsatz (Beta' ist der neue Winkel um ABD
6 \beta' \cong \beta Rechnen in R, (4) und (5)
7 In AB,C+ existiert genau ein Winkel |\angle ABD| = \beta Winkelkonstruktionsaxiom, (6)
8 Strahl BC+ ist Identisch mit BD+ und schneidet somit AC im Punkt C und im Punkt D (2), (7)
9 AC und BC sind identisch nach dem Satz aus der Inzidenzgeometrie und weil sie zwei gemeinsame Punkte haben, was ein WIEDERSPRUCH ist zur Annahme, dass die Punkte A, B und C nicht kollinear sind.

--Flo60 15:35, 26. Jul. 2011 (CEST) --Flo60 20:49, 26. Jul. 2011 (CEST)

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Lösung_von_Aufg._12.3_SS11&oldid=8515“