Lösung von Aufg. 12.3 SS11

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Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt \ P zu den Endpunkten der Strecke \overline{AB} jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von \overline{AB}.


 \ Beweis:

 \ V: \overline{AP} \equiv \overline{BP}
\ B: \ P\in \ m \ mit \ m  \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \  \overline{AB}

 \ Sei  \ m \ Mittelpunkt \ von \ \overline{AB}\ ( \ n. \ Existenz \ vom \ Mittelpunkt \ einer \ Strecke)
 \ Betrachte \ die \ beiden \ Dreieck \  \overline{AMP}\ und\ \overline{MPB}
 \ Es \ gilt \ : \ \overline{AP} \equiv \overline{BP}\  nach \ Voraussetzung\
\ Ferner\  \angle PMA \equiv \angle PBM \ nach \ Basiswinkelsatz
\ und \ \overline{AM} \equiv \overline{MB} \ da \ M \ Mittelpunkt\ ist.
\Rightarrow \ nach \ SWS \ die \ Kongruenz \ der \ beiden \ Dreiecke
\Rightarrow \angle PMA\equiv \angle BMP\Rightarrow \ es \ sind \ rechte \ Winkel \Rightarrow \ PM \ ist  \ Mittelsenkrechte
\Rightarrow \ Behauptung--Peterpummel 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST)


\ Vor: \ Punkt \ P, \ Strecke \overline{AB}, \ Mittelsenkrechte \ m \ von \overline{AB}
|\ PA | = | \ PB |
\ Beh: \ P \in \ m

Man muss in zwei Fälle unterscheiden:
\ 1. \ Fall: \ P \neq \ M
\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M

\ 1. Fall: \ P \neq \ M
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\bigtriangle“): \ 1) \triangle \overline{ABP} \ ist \ gleichschenklig \ (Vor, \ Def. \ gleichschenkliges \bigtriangle \ )