Lösung von Aufg. 6.5P (WS 18 19): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 29. November 2018, 14:44 Uhr

Beweisen Sie den Satz von Pasch.
Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC

Beweisschritt	Begründung
1. g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC	Voraussetzung
2. g hat keinen Anfangs und Endpunkt	Def (Gerade)
3. g muss eine weitere Seite des Dreiecks schneiden	Logik, 2.

anschaulich plausibel aber kein Beweis. Versuchen Sie ohne Anschauung zu argumentieren--Schnirch (Diskussion) 12:12, 21. Nov. 2018 (CET)

Ich habe den Beweis leider nicht in Tabellenform hinbekommen.

Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC.
Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC.

Beispiel: Voraussetzung: g schneidet Seite AB.

Behauptung: g schneidet entweder Seite AC oder Seite BC.

Punkt A teilt die Ebene E in zwei Halbebenen gA+ und gA-. Gerade g schneidet die Seite AB (Voraussetzung).

etwas genauer wäre an dieser Stelle: g teilt die Ebene E bezüglich des Punktes A in genau zwei Halbebenen (Begründung: Ebenenteilungsaxiom)--Schnirch (Diskussion) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)

Somit muss die Gerade g entweder die Seite AC oder die Seite BC schneiden (Behauptung).

Es gibt einen Punkt C, der auf der selben Ebene (wie Punkt A und Punkt B) liegen. Somit kann Punkt C entweder in der Halbebene gA+ oder in der Halbebene gA- liegen.

Liegt Punkt C in der Halbebene gA+, dann schneidet die Gerade g laut der Definition der Halbebene die Seite BC, aber nicht die Seite AC. (siehe Zeichnung)

Beweis Satz von Pasch

Liegt Punkt C in der Halbebene gA-, dann schneidet die Gerade g laut der Definition der Halbebene die Seite AC, aber nicht die Seite BC. (siehe Zeichnung)

Beweis Satz von Pasch

(Das Gleiche gilt, wenn man statt Seite AB die Seite AC oder die Seite BC als Voraussetzung nutzt.) --Student01 (Diskussion) 17:14, 21. Nov. 2018 (CET)

1. G schneidet $\overline{AB}$ im Punk P mit P= Zw.(A,P,B). - Voraussetzung
2. Es gibt einen Punk G1 auf G, der in der Halbebene $ABC^-$ liegt.
g ist die Summe der beiden Halbgeraden $PG1^+$ und $PG1^-$ (und P) - Logik, 1
3. $PG1^-$ ist gleich der Halbgeraden $PG2^+$ mit G2 Element g und Element $ABC^+$ - Logik, 2
4. $PG2^+$ ist Element von $\overline{AB}C^+$ , genauso wie $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ - Logik, 3

das kann nicht sein, da Widerspruch zum Satz von Pasch --Schnirch (Diskussion) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)

5. $PG2^+$ schneidet C nicht, aber schneidet einen Punkt F, der den gleichen Abstand zur Geraden AB hat. - Voraussetzung, Logik
6. $PG2^+$ schneidet entweder $\overline{AC}$ (wenn F links von C) oder $\overline{BC}$ (wenn F rechts von C)- Logik, 4, 5
--CIG UA (Diskussion) 13:40, 23. Nov. 2018 (CET)

dieser Beweis ist so leider nicht zielführend --Schnirch (Diskussion) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)

@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 [[Kategorie:Geo_P]]
 Ich habe den Beweis leider nicht in Tabellenform hinbekommen.
-Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC.
+Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC.<br />
 Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC.
 Beispiel:
-Voraussetzung: g schneidet Seite AB.
+Voraussetzung: g schneidet Seite AB.<br />
 Behauptung: g schneidet entweder Seite AC oder Seite BC.
-Punkt A teilt die Ebene E in zwei Halbebenen gA+ und gA-.
-Gerade g schneidet die Seite AB (Voraussetzung).
+Punkt A teilt die Ebene E in zwei Halbebenen gA+ und gA-. Gerade g schneidet die Seite AB (Voraussetzung).
+ etwas genauer wäre an dieser Stelle: g teilt die Ebene E bezüglich des Punktes A in genau zwei Halbebenen (Begründung: Ebenenteilungsaxiom)--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)
 Somit muss die Gerade g entweder die Seite AC oder die Seite BC schneiden (Behauptung).
 Es gibt einen Punkt C, der auf der selben Ebene (wie Punkt A und Punkt B) liegen. Somit kann Punkt C entweder in der Halbebene gA+ oder in der Halbebene gA- liegen.
-:Eingerückte Zeile Liegt Punkt C in der Halbebene gA+, dann schneidet die Gerade g laut der Definition der Halbebene die Seite BC, aber nicht die Seite AC.
+Liegt Punkt C in der Halbebene gA+, dann schneidet die Gerade g laut der Definition der Halbebene die Seite BC, aber nicht die Seite AC. (siehe Zeichnung)
+[[Datei:GA+.jpg|thumb|Beweis Satz von Pasch]]
-:Eingerückte Zeile Liegt Punkt C in der Halbebene gA-, dann schneidet die Gerade g laut der Definition der Halbebene die Seite AC, aber nicht die Seite BC.
+Liegt Punkt C in der Halbebene gA-, dann schneidet die Gerade g laut der Definition der Halbebene die Seite AC, aber nicht die Seite BC. (siehe Zeichnung)
+[[Datei:GA-.jpg|thumb|Beweis Satz von Pasch]]
 (Das Gleiche gilt, wenn man statt Seite AB die Seite AC oder die Seite BC als Voraussetzung nutzt.)
 --[[Benutzer:Student01|Student01]] ([[Benutzer Diskussion:Student01|Diskussion]]) 17:14, 21. Nov. 2018 (CET)
+. G schneidet <math>\overline{AB}</math> im Punk P mit P= Zw.(A,P,B). '''- Voraussetzung'''<br />
+. Es gibt einen Punk G1 auf G, der in der Halbebene <math>ABC^-</math> liegt.<br />
+g ist die Summe der beiden Halbgeraden <math>PG1^+</math> und <math>PG1^-</math> (und P) '''- Logik, 1'''<br />
+. <math>PG1^-</math> ist gleich der Halbgeraden <math>PG2^+</math> mit G2 Element g und Element <math>ABC^+</math>'''- Logik, 2'''<br />
+.<math>PG2^+</math> ist Element von <math>\overline{AB}C^+</math>, genauso wie <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{BC}</math>'''- Logik, 3'''<br />
+ das kann nicht sein, da Widerspruch zum Satz von Pasch --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)
+. <math>PG2^+</math> schneidet C nicht, aber schneidet einen Punkt F, der den gleichen Abstand zur Geraden AB hat. '''- Voraussetzung, Logik'''<br />
+. <math>PG2^+</math> schneidet entweder <math>\overline{AC}</math> (wenn F links von C) oder <math>\overline{BC}</math> (wenn F rechts von C)'''- Logik, 4, 5'''<br />--[[Benutzer:CIG UA|CIG UA]] ([[Benutzer Diskussion:CIG UA|Diskussion]]) 13:40, 23. Nov. 2018 (CET)
+ dieser Beweis ist so leider nicht zielführend --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)

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