Lösung von Aufg. 6.5P (WS 18 19): Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Es sei \ \varepsilon eine Ebene in der die Gerade \ g liegen möge. Ferner sei \ Q ein Punkt der Ebene \ \varepsilon, der nicht zur Geraden \ g gehört. | ||
| + | Unter den offenen Halbebenen \ gQ^{+} und \ gQ^{-} bezüglich der Trägergeraden \ g versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene \ \varepsilon ohne die Gerade \ g : | ||
| + | \ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\} | ||
| + | \ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\} | ||
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| + | Ich habe den Beweis leider nicht in Tabellenform hinbekommen. | ||
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| + | Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC. | ||
| + | Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC. | ||
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| + | Voraussetzung: g schneidet Seite AB. | ||
| + | Behauptung: g schneidet entweder Seite AC oder Seite BC. | ||
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| + | Punkt A teilt die Ebene E in zwei Halbebenen gA+ und gA-. | ||
| + | Gerade g schneidet die Seite AB (Voraussetzung). | ||
| + | Somit muss die Gerade g entweder die Seite AC oder die Seite BC schneiden (Behauptung). | ||
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| + | Es gibt einen Punkt C, der auf der selben Ebene (wie Punkt A und Punkt B) liegen. Somit kann Punkt C entweder in der Halbebene gA+ oder in der Halbebene gA- liegen. | ||
| + | :Eingerückte Zeile Liegt Punkt C in der Halbebene gA+, dann schneidet die Gerade g die Seite BC, aber nicht die Seite AC. | ||
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| + | (Das Gleiche gilt, wenn man statt Seite AB die Seite AC oder die Seite BC als Voraussetzung nutzt.) | ||
Version vom 21. November 2018, 18:12 Uhr
Beweisen Sie den Satz von Pasch.
Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC
Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC
| Beweisschritt | Begründung |
|---|---|
| 1. g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC | Voraussetzung |
| 2. g hat keinen Anfangs und Endpunkt | Def (Gerade) |
| 3. g muss eine weitere Seite des Dreiecks schneiden | Logik, 2. |
anschaulich plausibel aber kein Beweis. Versuchen Sie ohne Anschauung zu argumentieren--Schnirch (Diskussion) 12:12, 21. Nov. 2018 (CET)
Definition II.1: (offene Halbebene)
Es sei \ \varepsilon eine Ebene in der die Gerade \ g liegen möge. Ferner sei \ Q ein Punkt der Ebene \ \varepsilon, der nicht zur Geraden \ g gehört.
Unter den offenen Halbebenen \ gQ^{+} und \ gQ^{-} bezüglich der Trägergeraden \ g versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene \ \varepsilon ohne die Gerade \ g :
\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}
\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}
Ich habe den Beweis leider nicht in Tabellenform hinbekommen.
Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC. Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC.
Beispiel: Voraussetzung: g schneidet Seite AB. Behauptung: g schneidet entweder Seite AC oder Seite BC.
Punkt A teilt die Ebene E in zwei Halbebenen gA+ und gA-. Gerade g schneidet die Seite AB (Voraussetzung). Somit muss die Gerade g entweder die Seite AC oder die Seite BC schneiden (Behauptung).
Es gibt einen Punkt C, der auf der selben Ebene (wie Punkt A und Punkt B) liegen. Somit kann Punkt C entweder in der Halbebene gA+ oder in der Halbebene gA- liegen.
- Eingerückte Zeile Liegt Punkt C in der Halbebene gA+, dann schneidet die Gerade g die Seite BC, aber nicht die Seite AC.
- Eingerückte Zeile Liegt Punkt C in der Halbebene gA-, dann schneidet die Gerade g die Seite AC, aber nicht die Seite BC.
(Das Gleiche gilt, wenn man statt Seite AB die Seite AC oder die Seite BC als Voraussetzung nutzt.)
