Lösung von Aufg. 6.5P (WS 18 19)

Beweisen Sie den Satz von Pasch.
Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC

Beweisschritt	Begründung
1. g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC	Voraussetzung
2. g hat keinen Anfangs und Endpunkt	Def (Gerade)
3. g muss eine weitere Seite des Dreiecks schneiden	Logik, 2.

anschaulich plausibel aber kein Beweis. Versuchen Sie ohne Anschauung zu argumentieren--Schnirch (Diskussion) 12:12, 21. Nov. 2018 (CET)

Definition II.1: (offene Halbebene) Es sei \ \varepsilon eine Ebene in der die Gerade \ g liegen möge. Ferner sei \ Q ein Punkt der Ebene \ \varepsilon, der nicht zur Geraden \ g gehört. Unter den offenen Halbebenen \ gQ^{+} und \ gQ^{-} bezüglich der Trägergeraden \ g versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene \ \varepsilon ohne die Gerade \ g : \ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\} \ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}

Ich habe den Beweis leider nicht in Tabellenform hinbekommen.

Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC. Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC.

Beispiel: Voraussetzung: g schneidet Seite AB. Behauptung: g schneidet entweder Seite AC oder Seite BC.

Punkt A teilt die Ebene E in zwei Halbebenen gA+ und gA-. Gerade g schneidet die Seite AB (Voraussetzung). Somit muss die Gerade g entweder die Seite AC oder die Seite BC schneiden (Behauptung).

Es gibt einen Punkt C, der auf der selben Ebene (wie Punkt A und Punkt B) liegen. Somit kann Punkt C entweder in der Halbebene gA+ oder in der Halbebene gA- liegen.

Eingerückte Zeile Liegt Punkt C in der Halbebene gA+, dann schneidet die Gerade g die Seite BC, aber nicht die Seite AC.

Eingerückte Zeile Liegt Punkt C in der Halbebene gA-, dann schneidet die Gerade g die Seite AC, aber nicht die Seite BC.

(Das Gleiche gilt, wenn man statt Seite AB die Seite AC oder die Seite BC als Voraussetzung nutzt.)