Lösung von Aufg. 6.6

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Satz II: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden.

Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.

1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden

2.

   Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht kommplanar
Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden
Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D
     Beweisschritt                                     Begründung
1. Es existierte genau eine Gerade g Axiom I/1
die die Punkte A und B enthält
2. Es existiert ein Punkt C außerhalb von g Axiom I/3
3. A,B C sind nicht kollinear 1), 2)
4. Es existiert eine Ebene E die A,B C enthält Axiom I/4
5. C = D Annahme
6. D ist Element der Ebene E 5)
7. A,B,C,D sind komplanar 4), 6)
Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.

3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar

4.

   Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D
Behauptung: A,B,C,D sind komplanar Wenn A,B,C drei nicht kollineare Punkte sind, dann existiert nach Axiom I/4 genau eine Ebene E die die drei Punkte A,B,C
enthält. Da C= D nach Vorausetzung gegeben ist, sind A,B,C,D in einer Ebene und somit komplanar

5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar
--Sommer80 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)