Lösung von Aufg. 6.6 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 2. Dezember 2011, 18:15 Uhr

Satz:

Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.
  1. Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen komplanar und kollinear zu verwenden.
  2. Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne wenn-dann zu gebrauchen.
  3. Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:

Beweis

Es seien \ A, B, C und \ D vier Punkte, die nicht komplanar sind.

zu zeigen

...

Annahme:

Es gibt drei Punkte von den vier Punkten \ A, B, C, D, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...




zu 1. Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann liegen je drei von ihnen nicht auf einer Geraden.
zu 2. Liegen vier Punkte nicht in einer Ebene gilt für drei davon, dass sie nicht auf einer Geraden liegen.
zu 3. Beweis Voraussetzung::Es seien \ A, B, C und \ D vier Punkte, die nicht komplanar sind. zu zeigen

o.B.d.A. : A, B, C nicht kollinear

Annahme:

Es gibt drei Punkte von den vier Punkten \ A, B, C, D, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte A,B,C sein.


Beweisschritt Begründung
(1)koll(A,B,C) Annahme
(2)Es existiert eine Gerdade g mit A,B,C Element g (1) Defninition koll
(3) Zwei Punkte der Geraden und der Punkt D liegen in einer Ebene Axiom I/4
(4) Die drei Punkte der Geraden gehören ebenfalls zu dieser Ebene Axiom I/5
(5) komp(A,B,C,D) (2)(3)(4)
Wiederspruch zur Voraussetzung, die Annahme ist zu verwerfen.

--LGDo12 13:35, 17. Nov. 2011 (CET)

  • Wenn man in seinem Beweis eine Fallunterscheidung durchführen muss, kann man dann die Fälle bereits in der Annahme nennen? (beispielsweise:Annahme: Drei Punkte aus A,B,C und D sind kollinear. Fall 1: koll(A,B,C,D), Fall 2: o.B.d.A. koll (A,B,C)) --Miriam 11:50, 26. Nov. 2011 (CET)
    • Ja, sollte man, denn (3) kann man nur dann schließen, wenn zusätzlich zu koll(A,B,C) auch nkoll (A,B,C,D) gilt. Ich würde die Fallunterscheidung aber anders treffen. Man geht z.B. in der Annahme o.B.D.A. aus, dass koll(A,B,C) gilt, und trifft anschließend eine Fallunterscheidung zwischen koll(A,B,C,D) und nkoll(A,B,C,D)... kann jemand den Beweis so vervollständigen? --Spannagel 13:07, 28. Nov. 2011 (CET)


Ich hoffe, so stimmts:

Vor.: nkomp(A,B,C,D)

Beh.: je 3 Punkte sind nicht kollinear: nkoll(A,B,C) \vee nkoll(A,B,D) \vee nkoll(A,C,D) \vee nkoll(B,C,D)

Ann.: es gibt 3 Punkte, die kollinear sind: koll(A,B,C) \vee koll(A,B,D) \vee koll(A,C,D) \vee koll(B,C,D)

Beweisschritt Begründung
(1) nkomp(A,B,C,D) Voraussetzung
(2) oBdA: koll(A,B,C) Annahme
(3) \exists eine Gerade g. A \in g \wedge B \in g \wedge C \in g 2), Definition kollinear
(4) D \not\in g Fall 1
(5) oBdA: nkoll(A,B,D) 3), 4)
(6) \exists eine Ebene E. A \in E \wedge B \in E \wedge D \in E Axiom I/4, 5)
(7) g \in E Axiom I/5, 3), 6)
(8) komp(A,B,C,D) 3), 6), 7), Definition komplanar
Widerspruch zur Voraussetzung
(4) D \in g Fall 2
(5) koll(A,B,C,D) 3), 4), Definition kollinear
(6) \exists ein Punkt F. nkoll(A,B,C,D,F) Axiom I/3
(7) oBdA: nkoll(A,B,F) 6)
(8) \exists eine Ebene E. A \in E \wedge B \in E \wedge F \in E Axiom I/4, 7)
(9) g \in E Axiom I/5, 3), 8)
(10) komp(A,B,C,D,F) 3), 5), 8), 9), Definition komplanar
(11) komp(A,B,C,D) 10)
Widerspruch zur Voraussetzung

--Teufelchen777 22:50, 29. Nov. 2011 (CET) 

prima!--Schnirch 14:17, 1. Dez. 2011 (CET)
Auch von mir: Klasse! Nur ein klitzekleiner Hinweis: Ist Ihre Behauptung korrekt formalisiert? (genauer: stimmen die "oders"? :-)) --Spannagel 17:15, 2. Dez. 2011 (CET)
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