Lösung von Aufg. 7.3P (SoSe 18)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace$

(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit $\overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace$ und nutzen Sie den Satz von Pasch)

Lösung:

Ein Schnittpunkt hat immer 2 Geraden. Wenn eine Gerade des Dreiecks ABC g schneidet muss es eine zweite ebenso tun. Wenn zwei geraden g nicht schneiden kann die Dritte es auch nicht tun. Wenn wir eine vierten Punkt D dazu holen und AD keine lehre Menge zu g hat, dann hat einer der Punkt ebenso keine Lehre Menge zu D, jedoch immernoch zu A und B, weil sich nur D in der Halbebene E- befindet.

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