Lösung von Aufg. 8.3 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. Juni 2011, 16:35 Uhr

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung den Satz aus Aufgabe 7.6).

Voraussetzung: nkomp (A, B, C, D)
Behauptung: A B C A

Aufgrund der Tatsache, dass wir aus Satz 7.6 wissen, dass keine drei Punkte kollinear sind, wenn vier Punkte (A, B, C, D) nicht komplanar sind, müssen wir nur zeigen, dass keine zwei Punkte identisch sind.

Beweis:

Annahme: A = B (o.B.d.A.)

Nummer	Beweisschritt	Begründung
1	Es exisitert eine Gerade g mit A g und B g	Axiom I.1
2	A = B	Annahme
3	Für A = B benötigt die Gerade einen weiteren Punkt, um nach den Inzidenzaxiomen existieren zu können => C g	Axiom I.2, (2)
4	koll(A, B, C)	(3), Def. kollinear
5	Widerspruch zur Voraussetzung	(4), Satz 7.6, Voraussetzung
6	Annahme ist zu verwerfen	(5)

--Flo60 22:54, 31. Mai 2011 (CEST)

Müsste es nicht bei 5.) komp (A,B,C,D) aus 2.), 4.) und Def. komplanar heißen und somit ein Widerspruch zu der Vor Aufgabe 8.3 sein?--Vollyschwamm 11:55, 1. Jun. 2011 (CEST)

Nein muss es nicht, denn aus daraus, dass eine Menge von Punkten kollinear ist, folgt nicht automatisch, dass die Punkte auch in jedem Falle komplanar sind. Natürlich gibt es dann eine Ebene, zu der diese Punkte komplanar sind, wir wissen jedoch nicht, ob das genau die Ebene ist, die wir betrachten. Ich habe das mal im Powerpoint gezeichnet. Eine Ebene ist zwar nicht Dreidimensional und auf den Geraden sind keine Punkte eingezeichnet, jeodch ist sicherlich erkennbar, dass alle Punkte auf der Geraden g komplanar zur Ebene sind, weil g vollständig in E ist, während h die Ebene nur schneidet und aber trotzdem alle Punkte auf h kollinear sind.

--Flo60 21:38, 1. Jun. 2011 (CEST)

In Schritt 3 haben Sie angenommen, dass es noch einen weiteren Punkt auf der Geraden geben muss.
 Das ist korrekt, allerdings muss das nicht zwangsläufig Punkt C oder D sein, sondern z.B.
 auch ein neuer Punkt F. Denken Sie an dieser Stelle nochmal über Ihren Beweis nach,
 Sie wissen doch noch etwas mehr über Ihre restlichen Punkte, oder?--Schnirch 16:35, 2. Jun. 2011 (CEST)