Lösung von Aufg. 8.3 (SoSe 11)

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung den Satz aus Aufgabe 7.6).

Voraussetzung: nkomp (A, B, C, D)
Behauptung: A $\neq$ B $\neq$ C $\neq$ A

Aufgrund der Tatsache, dass wir aus Satz 7.6 wissen, dass keine drei Punkte kollinear sind, wenn vier Punkte (A, B, C, D) nicht komplanar sind, müssen wir nur zeigen, dass keine zwei Punkte identisch sind.

Beweis:

Annahme: A = B (o.B.d.A.)

Nummer	Beweisschritt	Begründung
1	Es exisitert eine Gerade g mit A $\in$ g und B $\in$ g	Axiom I.1
2	A = B	Annahme
3	Für A = B benötigt die Gerade einen weiteren Punkt, um nach den Inzidenzaxiomen existieren zu können => C $\in$ g	Axiom I.2, (2)
4	koll(A, B, C)	(3), Def. kollinear
5	Widerspruch zur Voraussetzung	(4), Satz 7.6, Voraussetzung
6	Annahme ist zu verwerfen	(5)

--Flo60 22:54, 31. Mai 2011 (CEST)

Müsste es nicht bei 5.) komp (A,B,C,D) aus 2.), 4.) und Def. komplanar heißen und somit ein Widerspruch zu der Vor Aufgabe 8.3 sein?--Vollyschwamm 11:55, 1. Jun. 2011 (CEST)