Lösung von Aufg. 8.5: Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
 
Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
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== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:15, 14. Dez. 2010 (UTC)==
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'''Voraussetzung:''' Zwei konvexe Punktmengen <math>\ M1 </math> und <math>\ M2 </math> mit <math>\ P \in M1 \cap M2 \and Q \in M1\cap M2 </math><br\>
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'''Behauptung:''' <math> M1 \cap M2 </math> ist konvex, d. h. <math>\overline {PQ} \subseteq  M1 \cap M2 </math>
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! Nr.
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| <math>\ P \in M1 \and Q \in M1</math>
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| <math>\ P \in M2 \and Q \in M2</math>
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| <math>\ P </math> und <math>\ Q </math> sind nach Voraussetzung in der Schnittmenge <math>\ M1 \cap M2 </math>, also auch in <math>\ M2 </math>
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| <math>\overline{PQ}\subseteq M1 </math>
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| (I) und der Voraussetzung, dass <math>\ M1 </math> konvex ist
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| <math>\overline{PQ}\subseteq M2 </math>
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| (II) und der Voraussetzung, dass <math>\ M2 </math> konvex ist
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| <math>\overline {PQ} \subseteq  M1 \cap M2 </math>
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| (III), (IV) und Definition Schnittmenge
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==vorausgegangene Lösungsvorschläge und Diskussionen==
 
  VSS: zwei konvexe Punktmengen o.B.d.A M1 und M2<br />
 
  VSS: zwei konvexe Punktmengen o.B.d.A M1 und M2<br />
 
  Beh: Durchschnitt ist konvex<br />
 
  Beh: Durchschnitt ist konvex<br />
 
   
 
   
 
  Beweisschritt                                      Begründung<br />
 
  Beweisschritt                                      Begründung<br />
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  1. A Element M1 geschnitten M2 und B Element        Axiom vom Lineal<br />
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  1. A Element M1 geschnitten M2 und B Element        Axiom vom Lineal<br />  
 
     M1 geschnitten M2<br />
 
     M1 geschnitten M2<br />
 
  2. A,B sind Element von M1 und A,B Element M2        1<br />
 
  2. A,B sind Element von M1 und A,B Element M2        1<br />
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     daraus folgt M1 geschnitten M2 ist konvex          4
 
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--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 14:25, 30. Nov. 2010 (UTC)
 
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zu 1. Die Begründung ist nicht korrekt, 1. folgt einfach aus der Voraussetzung, ansonsten OK!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:15, 14. Dez. 2010 (UTC)
 
<u>2. Lösungsversuch:</u><br />
 
<u>2. Lösungsversuch:</u><br />
 
<u>Vor</u>: M und N sind konvexe Punktmengen<br />
 
<u>Vor</u>: M und N sind konvexe Punktmengen<br />
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3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)
 
3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)
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due Lösung von Engel82 ist auch OK!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:15, 14. Dez. 2010 (UTC)

Version vom 14. Dezember 2010, 16:15 Uhr

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Lösung --Schnirch 14:15, 14. Dez. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Zwei konvexe Punktmengen \ M1 und \ M2 mit \ P \in M1 \cap M2 \and Q \in M1\cap M2
Behauptung: M1 \cap M2 ist konvex, d. h. \overline {PQ} \subseteq M1 \cap M2

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \ P \in M1 \and Q \in M1 \ P und \ Q sind nach Voraussetzung in der Schnittmenge \ M1 \cap M2 , also auch in \ M1
(II) \ P \in M2 \and Q \in M2 \ P und \ Q sind nach Voraussetzung in der Schnittmenge \ M1 \cap M2 , also auch in \ M2
(III) \overline{PQ}\subseteq M1 (I) und der Voraussetzung, dass \ M1 konvex ist
(IV) \overline{PQ}\subseteq M2 (II) und der Voraussetzung, dass \ M2 konvex ist
(V) \overline {PQ} \subseteq M1 \cap M2 (III), (IV) und Definition Schnittmenge

vorausgegangene Lösungsvorschläge und Diskussionen

VSS: zwei konvexe Punktmengen o.B.d.A M1 und M2

Beh: Durchschnitt ist konvex


Beweisschritt                                       Begründung

1. A Element M1 geschnitten M2 und B Element         Axiom vom Lineal
 
   M1 geschnitten M2

2. A,B sind Element von M1 und A,B Element M2        1

3. Strecke AB ist Element von M1                     VSS, 1, Definition konvex

4. Strecke AB ist Element von M2                     VSS, 1, Definition konvex

5. Strecke AB ist Teilmenge von M1 und M2, 
 
   daraus folgt M1 geschnitten M2 ist konvex          4

--Sommer80 14:25, 30. Nov. 2010 (UTC) 

zu 1. Die Begründung ist nicht korrekt, 1. folgt einfach aus der Voraussetzung, ansonsten OK!--Schnirch 14:15, 14. Dez. 2010 (UTC)

2. Lösungsversuch:
Vor: M und N sind konvexe Punktmengen
Beh: Der Durchschnitt von M und N ist konvex

M ist konvex:P \in M und Q \in M daraus folgt \overline{PQ} ist Teilmenge von M
N ist konvex:P \in N und Q \in N daraus folgt \overline{PQ} ist Teilmenge von N

zu zeigen:
P \in M\cap N und Q\in M\cap N daraus folgt \overline{PQ} ist Teilmenge
\in M\cap N

1)P \in M\cap N und Q\in M\cap N folgt ausP \in N und P \in N daraus folgt \overline{PQ}
Teilmenge von N

2)P \in M\cap N und Q\in M\cap N folgt aus P \in M und P \in M daraus folgt\overline{PQ}
Teilmenge von M

3) 1) und 2) Aus \overline{PQ} Teilmenge von M und\overline{PQ} Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge P \in M\cap N und Q\in M\cap N
--Engel82 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC) 

due Lösung von Engel82 ist auch OK!--Schnirch 14:15, 14. Dez. 2010 (UTC)
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