Lösung von Aufg. 8.5: Unterschied zwischen den Versionen

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<u>Beh:</u> Der Durchschnitt von M und N ist konvex<br />
 
<u>Beh:</u> Der Durchschnitt von M und N ist konvex<br />
  
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M ist konvex:<math>P \in g</math> und <math>Q \in g</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math> ist Teilmenge von M<br />
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M ist konvex:<math>P \in M</math> und <math>Q \in M</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math> ist Teilmenge von M<br />
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N ist konvex:<math>P \in g</math> und <math>Q \in g</math> daraus folgt  
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N ist konvex:<math>P \in N</math> und <math>Q \in N</math> daraus folgt  
 
<math>\overline{PQ}</math> ist Teilmenge von N<br />
 
<math>\overline{PQ}</math> ist Teilmenge von N<br />
  

Version vom 30. November 2010, 21:54 Uhr

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex. 

VSS: zwei konvexe Punktmengen o.B.d.A M1 und M2

Beh: Durchschnitt ist konvex


Beweisschritt                                       Begründung

1. A Element M1 geschnitten M2 und B Element         Axiom vom Lineal

   M1 geschnitten M2

2. A,B sind Element von M1 und A,B Element M2        1

3. Strecke AB ist Element von M1                     VSS, 1, Definition konvex

4. Strecke AB ist Element von M2                     VSS, 1, Definition konvex

5. Strecke AB ist Teilmenge von M1 und M2, 
 
   daraus folgt M1 geschnitten M2 ist konvex          4

--Sommer80 14:25, 30. Nov. 2010 (UTC)

2. Lösungsversuch:
Vor: M und N sind konvexe Punktmengen
Beh: Der Durchschnitt von M und N ist konvex

M ist konvex:P \in M und Q \in M daraus folgt \overline{PQ} ist Teilmenge von M
N ist konvex:P \in N und Q \in N daraus folgt \overline{PQ} ist Teilmenge von N

zu zeigen:
P \in M\cap N und Q\in M\cap daraus folgt \overline{PQ} ist Teilmenge
\in M\cap N

1)P \in M\cap N und Q\in M\cap folgt ausP \in N\cap und P \in N\cap daraus folgt \overline{PQ}

2)P \in M\cap N und Q\in M\cap N folgt aus P \in N\cap und P \in N\cap daraus folgt\overline{PQ}

3) 1) und 2) Aus \overline{PQ} Teilmenge von M und\overline{PQ} Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> P \in M\cap N und Q\in M\cap N
--Engel82 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)

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