Lösung von Aufgabe 10.5P (WS 18/19): Unterschied zwischen den Versionen
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Beweisen Sie Satz IX.3: | Beweisen Sie Satz IX.3: | ||
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>.<br /> | Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>.<br /> | ||
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| + | Vor: P'' = S<sub>a</sub> <math>\circ </math> S<sub>b</sub> (P) und <math>| \angle ASB |</math> = 90° mit A ε a und B ε b; Beh: |PS| = |SP''| mit S ε PP''<br /> | ||
| + | 1.) S<sub>a</sub> (P) = P' und S<sub>b</sub> (P') = <math>P''</math> '''- Vor., Verkettung von Geradenspiegelungen'''<br /> | ||
| + | 2.) <math>| \angle PSP'' |</math> = 2<math>| \angle ASB |</math> '''- 1.), Beweis aus 10.2'''<br /> | ||
| + | 3.) <math>| \angle PSP'' |</math> = 2 × 90° = 180° '''- Vor., 2.)'''<br /> | ||
| + | 4.) <math>P,S,P''</math> sind kollinear => S ε PP'' '''- 3.)'''<br /> | ||
| + | 5.) |PS| = |P'S| und |P'S| = <math>|SP''|</math> '''- 1.), Längenerhaltung'''<br /> | ||
| + | 6. |PS| = <math>|SP''|</math> '''- 5.)'''<br /> | ||
| + | 7.) Zw (P,S,P'') '''- 4.), 6.), Zwischenrelation'''<br /> | ||
| + | => S liegt auf <math>\overline{PP''}</math> und ist von beiden Endpunkten gleich weit entfernt, die Behauptung ist bewiesen.--[[Benutzer:CIG UA|CIG UA]] ([[Benutzer Diskussion:CIG UA|Diskussion]]) 22:12, 20. Dez. 2018 (CET) | ||
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Version vom 20. Dezember 2018, 23:12 Uhr
Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt S der beiden Spiegelgeraden a und b Mittelpunkt der Strecke 
, mit 
.
Vor: P = Sa 
Sb (P) und 
= 90° mit A ε a und B ε b; Beh: |PS| = |SP| mit S ε PP
1.) Sa (P) = P' und Sb (P') = 
- Vor., Verkettung von Geradenspiegelungen
2.) 
= 2 - 1.), Beweis aus 10.2
3.) = 2 × 90° = 180° - Vor., 2.)
4.) 
sind kollinear => S ε PP - 3.)
5.) |PS| = |P'S| und |P'S| = 
- 1.), Längenerhaltung
6. |PS| = - 5.)
7.) Zw (P,S,P) - 4.), 6.), Zwischenrelation
=> S liegt auf und ist von beiden Endpunkten gleich weit entfernt, die Behauptung ist bewiesen.--CIG UA (Diskussion) 22:12, 20. Dez. 2018 (CET)
