Lösung von Aufgabe 11.5P (WS 18 19): Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und die Geraden ''a'', ''b'', ''c'' und ''d'' mit: <math>\ a \perp \ b</math> und <math>c||d</math> entsprechend der Skizze.<br />  
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#Gegeben sei ein Winkel <math>\angle ABC</math> und ein Punkt ''P'' im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegt. Konstruieren Sie eine Strecke <math>\overline{DE}</math> deren Endpunkte ''D'' und ''E'' jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegen und ''P'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{DE}</math> ist.  
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#Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.
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[[Bild:verkettung_12_3.jpg]]
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#Durch welche Abbildung kann die Verkettung der vier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
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[[Datei:Aufgabe 11.5 WiSe 18 19.png|500px]]<br />
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#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
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Punkspiegelung der Halbgeraden des Winkels um P, konstruiert durch je einen Kreis mit Radius |P(jeweiliger Punkt)|, die Bildpunkte A',B',C' können dann durch die Schnittpunkte dieser Kreise mit den Geraden (jeweiliger Punkt)P konstruiert werden. Die Schnittpunkte von Winkel und Abbildung des Winkels sind die Punkte D und E, wobie D der Bildpunkt von E ist und somit gilt, dass ED eine Gerade durch P ist und |EP|= |PD|.<br />
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#Konstruieren Sie oben in der Skizze das Bild des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, das nach der Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> entsteht, mit Hilfe der Ersatzabbildung.<br />
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Beweis: (Im Beweis ist der Scheitelpunkt C) <br />
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Vor: D<sub>(P,180)</sub>(<math>\angle{ACB}</math>) = <math>\angle{A'C'B'}</math> und <math>\angle{ACB}</math> geschnitten <math>\angle{A'C'B'}</math> = {D;E}<br />
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Beh: P ε <math>\overline{DE}</math> und |DP| = |PE|<br />
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1.) D<sub>(P,180)</sub> = S<sub>p</sub> <math>\circ</math> S<sub>q</sub> '''- Vor; Def. Drehung'''<br />
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2.) p sei so gewählt, dass gilt: p steht senkrecht auf AC => S<sub>p</sub>(AC) = AC '''- Relative Lage der Spiegelachsen bei Drehungen, AC ist Fixgerade für die Spiegelung an p'''<br />
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3.) q || AC => S<sub>q</sub>(AC) = A'C' mit q || A'C' '''- 2.) Transitivität der Parallelität, Spiegelung einer Geraden an einer Parallelen erzeugt eine Parallele'''<br />
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4.) C'A' geschnitten CB = D '''- 3.)'''
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5.) D<sub>(P,180)</sub> (D) = E '''- 2.)'''<br />
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6.) P ε <math>\overline{DE}</math> und |DP| = |PE| '''- 5.)'''<br />
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Die Behauptung ist bewiesen. --[[Benutzer:CIG UA|CIG UA]] ([[Benutzer Diskussion:CIG UA|Diskussion]]) 22:15, 11. Jan. 2019 (CET)<br />
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[[Kategorie:Geo_P]]
 
[[Kategorie:Geo_P]]

Aktuelle Version vom 11. Januar 2019, 23:15 Uhr

  1. Gegeben sei ein Winkel \angle ABC und ein Punkt P im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels \angle ABC liegt. Konstruieren Sie eine Strecke \overline{DE} deren Endpunkte D und E jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels \angle ABC liegen und P Mittelpunkt der Strecke \overline{DE} ist.
  2. Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.



Aufgabe 11.5 WiSe 18 19.png
Punkspiegelung der Halbgeraden des Winkels um P, konstruiert durch je einen Kreis mit Radius |P(jeweiliger Punkt)|, die Bildpunkte A',B',C' können dann durch die Schnittpunkte dieser Kreise mit den Geraden (jeweiliger Punkt)P konstruiert werden. Die Schnittpunkte von Winkel und Abbildung des Winkels sind die Punkte D und E, wobie D der Bildpunkt von E ist und somit gilt, dass ED eine Gerade durch P ist und |EP|= |PD|.

Beweis: (Im Beweis ist der Scheitelpunkt C)
Vor: D(P,180)(\angle{ACB}) = \angle{A'C'B'} und \angle{ACB} geschnitten \angle{A'C'B'} = {D;E}
Beh: P ε \overline{DE} und |DP| = |PE|

1.) D(P,180) = Sp \circ Sq - Vor; Def. Drehung
2.) p sei so gewählt, dass gilt: p steht senkrecht auf AC => Sp(AC) = AC - Relative Lage der Spiegelachsen bei Drehungen, AC ist Fixgerade für die Spiegelung an p
3.) q || AC => Sq(AC) = A'C' mit q || A'C' - 2.) Transitivität der Parallelität, Spiegelung einer Geraden an einer Parallelen erzeugt eine Parallele
4.) C'A' geschnitten CB = D - 3.) 5.) D(P,180) (D) = E - 2.)
6.) P ε \overline{DE} und |DP| = |PE| - 5.)
Die Behauptung ist bewiesen. --CIG UA (Diskussion) 22:15, 11. Jan. 2019 (CET)

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