Lösung von Aufgabe 12.1: Unterschied zwischen den Versionen
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Das offene Innere von <math>\ \beta^'</math> ist der Schnitt zweier offener Halbebenen <math>\ AB,C^- \cap \ CB,A^+</math>.<br /> | Das offene Innere von <math>\ \beta^'</math> ist der Schnitt zweier offener Halbebenen <math>\ AB,C^- \cap \ CB,A^+</math>.<br /> | ||
Version vom 11. Juli 2010, 22:36 Uhr
Der schwache Außenwinkelsatz
Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum?
Der schwache Außenwinkelsatz
Das offene Innere von 
ist der Schnitt zweier offener Halbebenen 
.
Der Punkt 
würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels 
liegen,wenn er
- in Halbenbene
oder
- in der Halbebene
liegen würde.
zu 1.
Als Punkt der Halberaden 
(Konstruktion von ) kann nicht mit 
auf ein und derselben Seite bezüglich 
liegen.
zu 2.
2.a
Annahme: 
In diesem Fall würde gelten: 
. (Begründung mittels Inzidenzaxiomen ist jetzt nicht mehr nötig.) Wir wollen uns darauf einigen die Gerade 
mit 
zu bezeichnen.
Die Gerade 
hat mit der Geraden genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt 
.
Die Gerade 
hat mit der Geraden genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt 
.
Da die beiden Geraden und identisch sind und die nichtidentischen Geraden und maximal einen Punkt gemeinsam haben können,
müssen die beiden Punkte und identisch sein.
Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von . ist nämlich der Mittelpunkt von 
.
