Lösung von Aufgabe 14.4: Unterschied zwischen den Versionen
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Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind. | Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind. | ||
− | Man beweise: Wenn ein Viereck \overline{ABCD} ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von \overline{ABCD}. | + | Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>. |
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+ | ==== Voraussetzung ==== | ||
+ | *Viereck <math>\overline{ABCD}</math> | ||
+ | *Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): <math>\overline{ABCD}</math> ist konvex. | ||
+ | ::Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich. | ||
+ | *Es gilt (oBdA): <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}</math> | ||
+ | *nach Skizze: <math>\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}</math> | ||
+ | ::An sich müsste bewiesen werden, dass <math>\overline{AC}</math> und <math>\ \overline{DB}</math> sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass <math>\ D</math> und <math>\ B</math> in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden <math>\ AC </math> liegen. | ||
− | ==== | + | ==== Behauptung==== |
+ | <math>|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|</math> | ||
+ | ::Erklärung zu dieser Behauptung: wenn <math>\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}</math> (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert. | ||
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+ | | Dreieckskongruenz durch SSS | ||
+ | <br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS | ||
+ | <br /><math>\overline{DC} \cong \overline{BC}</math> nach VSS | ||
+ | <br /><math>\overline{AC} \equiv \overline{AC}</math> trivial | ||
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+ | | <math>w_a \in \overline{AC}</math> (<math>\ w_a</math> ist Winkelhalbierende des Winkels <math>\ \alpha</math> | ||
+ | | (I), Dreieckskongruenz: <math>\ \alpha_1 \cong \alpha_2</math> | ||
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+ | | <math>S \in w_a</math> | ||
+ | | (II), <math>S \in \overline{AC}</math> (VSS) | ||
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ||
+ | | <math>\overline{ADS} \cong \overline{ABS}</math> | ||
+ | | Dreieckskongruenz durch SWS | ||
+ | <br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS | ||
+ | <br /><math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> (I) | ||
+ | <br /><math>\overline{AS} \equiv \overline{AS}</math> trivial | ||
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+ | | <math>|BS| \cong |DS|</math> | ||
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+ | Die Diagonale <math>\ \overline{DB}</math> wird durch die Diagonale <math>\ \overline{AC}</math> halbiert! | ||
+ | --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | ==== Voraussetzung ==== | ||
+ | Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC | ||
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+ | Strecke AC halbiert die Strecke DB | ||
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+ | Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben. | ||
+ | <br />Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B. | ||
+ | <br />Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB. | ||
+ | <br />Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert. | ||
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+ | Kleine Anmerkung: habe diese Lösung von [[Benutzer:Sefamerve|Sefamerve]] an die Beschriftung der Skizze angepasst, damit der Weg der beiden Lösungen an der Skizze verglichen werden kann. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | == Zusatz-Aufgabe == | ||
+ | Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen! | ||
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+ | '''Möglichkeit 1:''' Aufgabenteil 1 mithilfe der Lösung von [[Benutzer:Sefamerve|Sefamerve]]) angehen, denn in der Beweisführung wird genau damit argumentiert, dass <math>\ AC</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{DB}</math> sei und die ist ja lt. Definition senkrecht zu <math>\overline{DB}</math>. | ||
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+ | '''Möglichkeit 2:''' tbc |
Aktuelle Version vom 28. Juli 2010, 04:13 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabenstellung
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.
Man beweise: Wenn ein Viereck ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von .
Versuch 1
Voraussetzung
- Viereck
- Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): ist konvex.
- Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.
- Es gilt (oBdA):
- nach Skizze:
- An sich müsste bewiesen werden, dass und sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass und in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden liegen.
Behauptung
- Erklärung zu dieser Behauptung: wenn (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Dreieckskongruenz durch SSS
| |
(II) | ( ist Winkelhalbierende des Winkels | (I), Dreieckskongruenz: |
(III) | (II), (VSS) | |
(IV) | Dreieckskongruenz durch SWS
| |
(V) | (IV) |
Die Diagonale wird durch die Diagonale halbiert! --Heinzvaneugen 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2
Voraussetzung
Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC
Behauptung
Strecke AC halbiert die Strecke DB
Beweis
Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben.
Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B.
Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB.
Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.
Kleine Anmerkung: habe diese Lösung von Sefamerve an die Beschriftung der Skizze angepasst, damit der Weg der beiden Lösungen an der Skizze verglichen werden kann. --Heinzvaneugen 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)
Zusatz-Aufgabe
Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!
Möglichkeit 1: Aufgabenteil 1 mithilfe der Lösung von Sefamerve) angehen, denn in der Beweisführung wird genau damit argumentiert, dass die Mittelsenkrechte von sei und die ist ja lt. Definition senkrecht zu .
Möglichkeit 2: tbc