Lösung von Aufgabe 14.4: Unterschied zwischen den Versionen

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== Aufgabenstellung ==
  
 
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.
 
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.
  
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Man beweise: Wenn ein Viereck \overline{ABCD} ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von \overline{ABCD}.
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Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>.
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===Versuch 1===
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==== Voraussetzung ====
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*Viereck <math>\overline{ABCD}</math>
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*Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): <math>\overline{ABCD}</math> ist konvex.
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::Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.
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*Es gilt (oBdA): <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}</math>
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*nach Skizze: <math>\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}</math>
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::An sich müsste bewiesen werden, dass <math>\overline{AC}</math> und <math>\ \overline{DB}</math> sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass <math>\ D</math> und <math>\ B</math> in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden <math>\ AC </math> liegen.
  
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==== Behauptung====
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'''Voraussetzung:''' Strecke AD kongrent zu Strecke DC und Strecke AB kongruent zu Strecke BC
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<math>|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|</math>
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<br />'''Behauptung:''' Strecke DB halbiert die Strecke AC
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::Erklärung zu dieser Behauptung: wenn <math>\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}</math> (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.
  
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'''Beweis:'''<br /> Betrachte die Mittelsenkrechte von AC. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten A und C <br />jeweils denselben Abstand haben. <br />Laut Voraussetzung gilt, dass D denselben Abstand zu A und C hat, ferner hat B denselben Abstand<br />zu A und C. Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun D und B zu der Mittelsenkrechte der Strecke AC. Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke DB die Strecke AC halbiert.
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[[Bild:Skizze_Übung_14_4.png|Skizze]]
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<br /><math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> (I)
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<br /><math>\overline{AS} \equiv \overline{AS}</math> trivial
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Die Diagonale <math>\ \overline{DB}</math> wird durch die Diagonale <math>\ \overline{AC}</math> halbiert!
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--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)
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Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC
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Strecke AC halbiert die Strecke DB
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Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben.  
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<br />Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B.
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<br />Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB.  
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<br />Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.
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Kleine Anmerkung: habe diese Lösung von [[Benutzer:Sefamerve|Sefamerve]] an die Beschriftung der Skizze angepasst, damit der Weg der beiden Lösungen an der Skizze verglichen werden kann. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)
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== Zusatz-Aufgabe ==
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Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!
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'''Möglichkeit 1:''' Aufgabenteil 1 mithilfe der Lösung von [[Benutzer:Sefamerve|Sefamerve]]) angehen, denn in der Beweisführung wird genau damit argumentiert, dass <math>\ AC</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{DB}</math> sei und die ist ja lt. Definition senkrecht zu <math>\overline{DB}</math>.
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'''Möglichkeit 2:''' tbc

Aktuelle Version vom 28. Juli 2010, 04:13 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.

Man beweise: Wenn ein Viereck \overline{ABCD} ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von \overline{ABCD}.

Versuch 1

Voraussetzung

  • Viereck \overline{ABCD}
  • Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): \overline{ABCD} ist konvex.
Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.
  • Es gilt (oBdA): \overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}
  • nach Skizze: \ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}
An sich müsste bewiesen werden, dass \overline{AC} und \ \overline{DB} sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass \ D und \ B in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden \ AC liegen.

Behauptung

|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|

Erklärung zu dieser Behauptung: wenn \ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB} (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.

Skizze

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \overline{ADC} \cong \overline{ABC} Dreieckskongruenz durch SSS


\overline{AB} \cong \overline{AD} nach VSS
\overline{DC} \cong \overline{BC} nach VSS
\overline{AC} \equiv \overline{AC} trivial

(II) w_a \in \overline{AC} (\ w_a ist Winkelhalbierende des Winkels \ \alpha (I), Dreieckskongruenz: \ \alpha_1 \cong \alpha_2
(III) S \in w_a (II), S \in \overline{AC} (VSS)
(IV) \overline{ADS} \cong \overline{ABS} Dreieckskongruenz durch SWS


\overline{AB} \cong \overline{AD} nach VSS
\alpha_1 \cong \alpha_2 (I)
\overline{AS} \equiv \overline{AS} trivial

(V) |BS| \cong |DS| (IV)

Die Diagonale \ \overline{DB} wird durch die Diagonale \ \overline{AC} halbiert! --Heinzvaneugen 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)

Versuch 2

Voraussetzung

Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC

Behauptung

Strecke AC halbiert die Strecke DB

Beweis

Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben.
Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B.
Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB.
Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.


Kleine Anmerkung: habe diese Lösung von Sefamerve an die Beschriftung der Skizze angepasst, damit der Weg der beiden Lösungen an der Skizze verglichen werden kann. --Heinzvaneugen 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)


Zusatz-Aufgabe

Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!

Möglichkeit 1: Aufgabenteil 1 mithilfe der Lösung von Sefamerve) angehen, denn in der Beweisführung wird genau damit argumentiert, dass \ AC die Mittelsenkrechte von \overline{DB} sei und die ist ja lt. Definition senkrecht zu \overline{DB}.

Möglichkeit 2: tbc

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