Lösung von Aufgabe 14.4: Unterschied zwischen den Versionen

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==== Aufgabenstellung 1 ====
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=== Aufgabenstellung 1 ===
  
 
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.
 
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.
  
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Man beweise: Wenn ein Viereck \overline{ABCD} ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von \overline{ABCD}.
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Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>.
  
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==== Zusatz-Aufgabe ====<br />'''''Versuch 1'''''<br />
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*Viereck <math>\overline{ABCD}</math>
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*Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): <math>\overline{ABCD}</math> ist konvex.
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::Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.
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*Es gilt (oBdA): <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}</math>
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*nach Skizze: <math>\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}</math>
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::An sich müsste bewiesen werden, dass <math>\overline{AC}</math> und <math>\ \overline{DB}</math> sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass <math>\ D</math> und <math>\ B</math> in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden <math>\ AC </math> liegen.
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==== Behauptung====
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<math>|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|</math>
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::Erklärung zu dieser Behauptung: wenn <math>\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}</math> (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.
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! Beweisschritt
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| <math>\overline{ADC} \cong \overline{ABC}</math>
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| Dreieckskongruenz durch SSS
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| <math>w_a \in \overline{AC}</math> (<math>\ w_a</math> ist Winkelhalbierende des Winkels <math>\ \alpha</math>
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| (I), Dreieckskongruenz: <math>\ \alpha_1 \cong \alpha_2</math>
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| <math>S \in w_a</math>
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| (II), <math>S \in \overline{AC}</math>  (VSS)
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| Dreieckskongruenz durch SWS
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<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS
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<br /><math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> (I)
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Die Diagonale <math>\ \overline{DB}</math> wird durch die Diagonale <math>\ \overline{AC}</math> halbiert!
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=== Zusatz-Aufgabe ===
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====Versuch 1====
 
'''Voraussetzung:''' Strecke AD kongrent zu Strecke DC und Strecke AB kongruent zu Strecke BC
 
'''Voraussetzung:''' Strecke AD kongrent zu Strecke DC und Strecke AB kongruent zu Strecke BC
 
<br />'''Behauptung:''' Strecke DB halbiert die Strecke AC
 
<br />'''Behauptung:''' Strecke DB halbiert die Strecke AC
  
 
'''Beweis:'''<br /> Betrachte die Mittelsenkrechte von AC. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten A und C <br />jeweils denselben Abstand haben. <br />Laut Voraussetzung gilt, dass D denselben Abstand zu A und C hat, ferner hat B denselben Abstand<br />zu A und C. Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun D und B zu der Mittelsenkrechte der Strecke AC. Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke DB die Strecke AC halbiert.
 
'''Beweis:'''<br /> Betrachte die Mittelsenkrechte von AC. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten A und C <br />jeweils denselben Abstand haben. <br />Laut Voraussetzung gilt, dass D denselben Abstand zu A und C hat, ferner hat B denselben Abstand<br />zu A und C. Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun D und B zu der Mittelsenkrechte der Strecke AC. Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke DB die Strecke AC halbiert.

Version vom 28. Juli 2010, 03:37 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung 1

Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.

Man beweise: Wenn ein Viereck \overline{ABCD} ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von \overline{ABCD}.

Voraussetzung

  • Viereck \overline{ABCD}
  • Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): \overline{ABCD} ist konvex.
Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.
  • Es gilt (oBdA): \overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}
  • nach Skizze: \ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}
An sich müsste bewiesen werden, dass \overline{AC} und \ \overline{DB} sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass \ D und \ B in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden \ AC liegen.

Behauptung

|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|

Erklärung zu dieser Behauptung: wenn \ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB} (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.

Skizze

Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \overline{ADC} \cong \overline{ABC} Dreieckskongruenz durch SSS


\overline{AB} \cong \overline{AD} nach VSS
\overline{DC} \cong \overline{BC} nach VSS
\overline{AC} \equiv \overline{AC} trivial

(II) w_a \in \overline{AC} (\ w_a ist Winkelhalbierende des Winkels \ \alpha (I), Dreieckskongruenz: \ \alpha_1 \cong \alpha_2
(III) S \in w_a (II), S \in \overline{AC} (VSS)
(IV) \overline{ADS} \cong \overline{ABS} Dreieckskongruenz durch SWS


\overline{AB} \cong \overline{AD} nach VSS
\alpha_1 \cong \alpha_2 (I)
\overline{AS} \equiv \overline{AS} trivial

(V) |BS| \cong |DS| (IV)

Die Diagonale \ \overline{DB} wird durch die Diagonale \ \overline{AC} halbiert!


Zusatz-Aufgabe

Versuch 1

Voraussetzung: Strecke AD kongrent zu Strecke DC und Strecke AB kongruent zu Strecke BC
Behauptung: Strecke DB halbiert die Strecke AC

Beweis:
Betrachte die Mittelsenkrechte von AC. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten A und C
jeweils denselben Abstand haben.
Laut Voraussetzung gilt, dass D denselben Abstand zu A und C hat, ferner hat B denselben Abstand
zu A und C. Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun D und B zu der Mittelsenkrechte der Strecke AC. Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke DB die Strecke AC halbiert.

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