Lösung von Aufgabe 2.3 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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<math>H_2O</math> und <math>\left{P|P \notin \operatorname{Kurpfalz}\right}</math>  helfen: <br />
 
<math>H_2O</math> und <math>\left{P|P \notin \operatorname{Kurpfalz}\right}</math>  helfen: <br />
 
::<math>A \subset B</math> bedeutet: Jedes Element von <math>A</math> gehört auch zu <math>B</math>.
 
::<math>A \subset B</math> bedeutet: Jedes Element von <math>A</math> gehört auch zu <math>B</math>.
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::<math>B \subset A</math> bedeutet: Jedes Element von <math>B</math> gehört auch zu <math>A</math>.
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::<math>B \subset A</math> bedeutet: Jedes Element von <math>B</math> gehört auch zu <math>A</math>.<br /><br />
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::Wir haben also zu zeigen, dass <math>E \in A \Rightarrow E \in B \wedge E \in B \Rightarrow E \in B</math> gilt.
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Wir haben also zu zeigen, dass
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#<math>E \in A \Rightarrow E \in B</math> und
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#<math>E \in B \Rightarrow E \in B</math> gilt.
  
 
===Ein Beispiel===
 
===Ein Beispiel===

Version vom 7. Juni 2012, 07:39 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 2.3

Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?

Lösungsvorschläge

ZigZag

  • Dass die Schnittmenge C der Mengen A und B alle Elemente der Mengen A und B beinhaltet.Benutzer:Zigzag

Wurzel alias H2O

  • A ist Teilmenge von B und B ist Teilmenge von A Dan ist A gleich B KeinKurpfälzer und --H2O 16:14, 30. Apr. 2012 (CEST)

TiCron

  • Zwei Mengen sind identisch, wenn sie die selben Elemente enthalten. Kein Widerspruch zu H20 und KeinKurpfälzer.

Bemerkungen M.G.

Kommentar

Das ist soweit alles richtig, aber vielleicht noch nicht so wirklich hilfreich bezüglich des Führens von Beweisen.
Zunächst die Definition aus dem Skript:
Mengenlehre.pdf

Definition

Mengengleichheit
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie aus denselben Elementen bestehen.

Diese Definition entspricht dem Beitrag von TiCron.

Auch in der Kurpfalz gilt jetzt das, was Team Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left{ \operatorname{Wasser, nicht aus der Kurpfalz}\right} 

formuliert:

Satz:

Es seien A und B zwei Mengen. Wenn A \subset B \wedge B \subset A, dann A=B.

ZigZag drückt das so aus:

Satz:

A \cap B = A \wedge A \cap B = B \Rightarrow A=B.

Beide Sätze könnten auch als Kriterium formuliert (gdw.) und somit als Definition verwendet werden.

Was muss ich aber konkret machen, wenn ich zeigen will, dass zwei Mengen A und B identisch sind?

H_2O und Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left{P|P \notin \operatorname{Kurpfalz}\right} 

 helfen:
A \subset B bedeutet: Jedes Element von A gehört auch zu B.
B \subset A bedeutet: Jedes Element von B gehört auch zu A.

Wir haben also zu zeigen, dass

  1. E \in A \Rightarrow E \in B und
  2. E \in B \Rightarrow E \in B gilt.

Ein Beispiel

Grundlegendes vorab

Wir gehen von folgenden Definitionen aus:

Definition

Drachen
Ein Viereck heißt Drachen, wenn es zwei Paare von benachbarten Seiten hat, die zueinander kongruent sind.

Definition

Parallelogramm
Ein Viereck heißt Parallelogramm, wenn es zwei Paare gegenüberliegender Seiten hat, die zueinander kongruent sind.

Unter D^* wollen wir die Menge aller Drachen verstehen, deren Diagonalen einander halbieren. P^* sei die Menge aller Parallelogramme, deren Seiten alle kongruent zueinander sind.

Wir behaupten jetzt, dass D^*=P^* gilt.
Hierzu führen wir zwei Beweise:

  1. Wenn ein Viereck V ein Drachen ist, dessen Diagonalen einander halbieren, so ist V auch ein Parallelogramm, dessen Seiten alle kongruent zueinander sind.
  2. Wenn ein Viereck V ein Parallelogramm ist, dessen Seiten alle zueinander kongruent sind, dann ist V auch ein Drachen, dessen Diagonalen einander halbieren.

anders ausgedrückt:

  1. V \in D^* \Rightarrow V \in P^*
  2. V \in P^* \Rightarrow V \in D^*

oder zusammengefasst: V \in D^* \Leftrightarrow V \in P^*

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