Lösung von Aufgabe 2.3 S (SoSe 12)

Aufgabe 2.3

Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?

Lösungsvorschläge

ZigZag

• Dass die Schnittmenge C der Mengen A und B alle Elemente der Mengen A und B beinhaltet.Benutzer:Zigzag
  

Wurzel alias H₂O

• A ist Teilmenge von B und B ist Teilmenge von A Dan ist A gleich B KeinKurpfälzer und --H2O 16:14, 30. Apr. 2012 (CEST)

TiCron

• Zwei Mengen sind identisch, wenn sie die selben Elemente enthalten. Kein Widerspruch zu H20 und KeinKurpfälzer.

Bemerkungen M.G.

Das ist soweit alles richtig, aber vielleicht noch nicht so wirklich hilfreich bezüglich des Führens von Beweisen.
Zunächst die Definition aus dem Skript:

Definition

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Mengengleichheit
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie aus denselben Elementen bestehen.

Diese Definition entspricht dem Beitrag von TiCron.

Auch in der Kurpfalz gilt jetzt das, was Team

formuliert:

Satz: Es seien $A$ und $B$ zwei Mengen. Wenn $A \subset B \wedge B \subset A$, dann $A=B$.
ZigZag drückt das so aus:
Satz: $A \cap B = A \wedge A \cap B = B \Rightarrow A=B$.

Beide Sätze könnten auch als Kriterium formuliert (gdw.) und somit als Definition verwendet werden. Was muss ich aber konkret machen, wenn ich zeigen will, dass zwei Mengen $A$ und $B$ identisch sind? $A \subset B$ bedeutet: Jedes Element von $A$ gehört auch zu $B$. $B \subset A$ bedeutet: Jedes Element von $B$ gehört auch zu $A$.