Lösung von Aufgabe 2.7 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir setzen den Innenwinkelsatz für Dreiecke und den Nebenwinkelsatz als bewiesen voraus.<br />
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'''Satz: (starker Außenwinkelsatz)'''
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:Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. <br />
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a) Formulieren Sie den starken Außenwinkelatz in ''Wenn-Dann-Form''.<br />
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b) Formulieren Sie die Voraussetzung und die Behauptung des starken Außenwinkelsatzes unter Verwendung der Bezeichnungen in der folgenden Skizze:<br />
  
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[[Datei:Außenwinkelsatz.png|Skizze für den Beweis des starken Außenwinkelsatzes]]<br />
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c) Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.<br />
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=Lösung=
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==Teilaufgabe a)==
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Wenn ein Winkel <math> ~\beta '</math> ein Außenwinkel eines Dreiecks <math> \overline{ABC} </math> ist, dann ist seine Größe gleich der Summe der Größen der beiden Innenwinkel von <math> \overline{ABC}</math>, die keine Nebenwinkel zu <math> ~\beta '</math> sind.
  
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==Teilaufgabe b)==
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===Voraussetzung===
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<math> ~\beta'</math> ist Außenwinkel von <math> \overline{ABC} </math>.
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===Behauptung===
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<math>\vert \beta' \vert = \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert</math>
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==Teilaufgabe c)==
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<math>
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\begin{matrix}
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\text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & \text{Begründung des Beweisschrittes} \\
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(1) & \beta' \text{ und } \beta \text{ sind Nebenwinkel.} & \text{Voraussetzung, Definition Außenwinkel} \\
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(2) & \vert \beta \vert + \vert \beta' \vert = 180^\circ & \text{ (1), Nebenwinkelsatz} \\
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(3) & \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert + \vert \gamma \vert = 180^\circ & \text{Innenwinkelsatz für Dreiecke} \\
 +
(4) & \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert + \vert \gamma \vert = \vert \beta \vert + \vert \beta' \vert & \text{(2), (3)} \\
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(5) & \vert \alpha \vert  + \vert \gamma \vert =  \vert \beta' \vert & \text{(4), q.e.d.} \\
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\end{matrix}
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===Behauptung===
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<math>\vert \beta' \vert = \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert </math>
 
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Aktuelle Version vom 22. Mai 2018, 12:48 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 2.6 SoSe 2018

Wir setzen den Innenwinkelsatz für Dreiecke und den Nebenwinkelsatz als bewiesen voraus.
Satz: (starker Außenwinkelsatz)

Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

a) Formulieren Sie den starken Außenwinkelatz in Wenn-Dann-Form.
b) Formulieren Sie die Voraussetzung und die Behauptung des starken Außenwinkelsatzes unter Verwendung der Bezeichnungen in der folgenden Skizze:

Skizze für den Beweis des starken Außenwinkelsatzes
c) Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Lösung

Teilaufgabe a)

Wenn ein Winkel ~\beta ' ein Außenwinkel eines Dreiecks \overline{ABC} ist, dann ist seine Größe gleich der Summe der Größen der beiden Innenwinkel von \overline{ABC}, die keine Nebenwinkel zu ~\beta ' sind.

Teilaufgabe b)

Voraussetzung

~\beta' ist Außenwinkel von \overline{ABC} .

Behauptung

\vert \beta' \vert = \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert

Teilaufgabe c)

\begin{matrix} \text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & \text{Begründung des Beweisschrittes} \\ (1) & \beta' \text{ und } \beta \text{ sind Nebenwinkel.} & \text{Voraussetzung, Definition Außenwinkel} \\ (2) & \vert \beta \vert + \vert \beta' \vert = 180^\circ & \text{ (1), Nebenwinkelsatz} \\ (3) & \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert + \vert \gamma \vert = 180^\circ & \text{Innenwinkelsatz für Dreiecke} \\ (4) & \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert + \vert \gamma \vert = \vert \beta \vert + \vert \beta' \vert & \text{(2), (3)} \\ (5) & \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert = \vert \beta' \vert & \text{(4), q.e.d.} \\ \end{matrix}

Behauptung

\vert \beta' \vert = \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert

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