Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe 14): Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: „'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander. '''<br /><br /> '''a) Wel…“) |
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Beh: |α| ≠ |β|<br /> | Beh: |α| ≠ |β|<br /> | ||
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br /> | Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br /> | ||
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| + | Beweis 1: Der Basiswinkelsatz sagt nicht, dass |AC| ≠ |BC|, deshalb ist der Beweis nicht korrekt. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST) | ||
| + | Beweis 2: Dies ist ein korrekter Beweis durch Kontraposition. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST) | ||
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b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br /> | b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br /> | ||
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| + | Vor: |AC|< |BC| < |AB| | ||
| + | Beh: |α| ≠ |β| | ||
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| + | Basiswinkelsatz: |AC| = |BC| | ||
| + | --> Deshalb ist die Annahme falsch. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST) | ||
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Version vom 12. Mai 2014, 18:04 Uhr
Satz: In einem Dreieck 
mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)
Beweis 1)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
Beweis 2)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
Beweis 1: Der Basiswinkelsatz sagt nicht, dass |AC| ≠ |BC|, deshalb ist der Beweis nicht korrekt. --MarieSo (Diskussion) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST) Beweis 2: Dies ist ein korrekter Beweis durch Kontraposition. --MarieSo (Diskussion) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)
b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.
Vor: |AC|< |BC| < |AB| Beh: |α| ≠ |β| Annahme: |α| = |β| Basiswinkelsatz: |AC| = |BC| --> Deshalb ist die Annahme falsch. --MarieSo (Diskussion) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)
