Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe 14)

Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

  Beweis 1: Der Basiswinkelsatz sagt nicht, dass |AC|  ≠ |BC|, deshalb ist der Beweis nicht korrekt. --MarieSo (Diskussion) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)
  Beweis 2: Dies ist ein korrekter Beweis durch Kontraposition. --MarieSo (Diskussion) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

  Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|
  Beh:  |α|  ≠ |β|
  Annahme: |α|  = |β|
  Basiswinkelsatz: |AC|  = |BC|
  --> Deshalb ist die Annahme falsch. --MarieSo (Diskussion) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)

Mein Versuch:
Vor.: |AC|< |BC| < |AB|
Beh.: |α| ≠ |β|
Annahme: |α| = |β|
Beweis:

AC|< |BC| < |AB|	Voraussetzung
α| = |β|	1), Annahme
AC| ≠ |BC| dann |α| ≠ |β|	1), Stufenwinkelsatz