Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 12 13 P): Unterschied zwischen den Versionen
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Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. | Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. | ||
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| − | Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber. | + | Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET) |
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Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br /> | Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br /> | ||
| − | Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition. | + | Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition.--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET) |
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Bew: Nehmen wir an |α| = |β|. Wenn |α| = |β| dann gilt |AC|= |BC| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht |AC|= |BC| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil |AC|= |BC|<math>\neq</math> |AC|< |BC|. Damit ist der Satz bewiesen. | Bew: Nehmen wir an |α| = |β|. Wenn |α| = |β| dann gilt |AC|= |BC| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht |AC|= |BC| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil |AC|= |BC|<math>\neq</math> |AC|< |BC|. Damit ist der Satz bewiesen. | ||
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Version vom 3. Februar 2013, 14:32 Uhr
Satz: In einem Dreieck 
mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)
Beweis 1)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)
Beweis 2)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition.--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)
b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.
Beweis:
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nehmen wir an |α| = |β|. Wenn |α| = |β| dann gilt |AC|= |BC| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht |AC|= |BC| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil |AC|= |BC|
|AC|< |BC|. Damit ist der Satz bewiesen.
--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)
