Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11): Unterschied zwischen den Versionen
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Die Mittelsenkrechte ''m'' einer beliebigen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Menge aller Punkte ''P'', die von ''A'' und ''B'' denselben Abstand haben:<br /> | Die Mittelsenkrechte ''m'' einer beliebigen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Menge aller Punkte ''P'', die von ''A'' und ''B'' denselben Abstand haben:<br /> | ||
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| + | '''Lösung''': '''Schritt 1''' Zu zeigen: Jeder Punkt auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B. | ||
| + | Man bestimmt einen beliebigen Punkt P auf der Geraden g. Konstruiert man nun die Verbindungsstrecken <math>\overline{PA}</math> und <math>\overline{PB}</math>, so erhält man zwei Dreiecke <math>\overline{APM}</math> und <math>\overline{MPB}</math> (M sei der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>). Diese beiden Dreiecke sind laut dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da <math>\overline{MA}</math> = <math>\overline{MB}</math> (laut Definition) und <math>\overline{MP}</math> = <math>\overline{MP}</math> und beide einen kongruenten rechten Winkel haben. Daraus ergibt sich, dass <math>\overline{PA}</math> = <math>\overline{PB}</math> sein muss. | ||
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| + | '''Schritt 2''' Zu zeigen: Jeder Punkt mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g. | ||
| + | Um einen beliebigen Punkt mit dem gleichen Abstand zu A und B zu konstruieren, zeichnet man Kreise mit den Mittelpunkten A und B und dem gleichen Radius r. Der Schnittpunkt der beiden Kreislinien ergibt mit den Punkten A, B und M widerrum zwei zueinander kongruente Dreiecke, da <math>\overline{AP}</math> = <math>\overline{BP}</math> und <math>\overline{MP}</math> = <math>\overline{MP}</math>. Da beide Dreiecke auch einen kongruenten Winkel haben, müssen sie auf der Geraden g liegen, damit gilt: <math>\overline{AM}</math> = <math>\overline{BM}</math>. --[[Benutzer:matthias|matthias]] 13:23, 27. Apr. 2011 (CEST)<br /> | ||
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Version vom 27. April 2011, 13:33 Uhr
Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke 
ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von verläuft und zu dieser Strecke senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).
Lösung: Schritt 1 Zu zeigen: Jeder Punkt auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B.
Man bestimmt einen beliebigen Punkt P auf der Geraden g. Konstruiert man nun die Verbindungsstrecken 
und 
, so erhält man zwei Dreiecke 
und 
(M sei der Mittelpunkt der Strecke ). Diese beiden Dreiecke sind laut dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da 
= 
(laut Definition) und 
= und beide einen kongruenten rechten Winkel haben. Daraus ergibt sich, dass = sein muss.
Schritt 2 Zu zeigen: Jeder Punkt mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g.
Um einen beliebigen Punkt mit dem gleichen Abstand zu A und B zu konstruieren, zeichnet man Kreise mit den Mittelpunkten A und B und dem gleichen Radius r. Der Schnittpunkt der beiden Kreislinien ergibt mit den Punkten A, B und M widerrum zwei zueinander kongruente Dreiecke, da 
= 
und = . Da beide Dreiecke auch einen kongruenten Winkel haben, müssen sie auf der Geraden g liegen, damit gilt: 
= 
. --matthias 13:23, 27. Apr. 2011 (CEST)
