Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 27. April 2011, 19:16 Uhr

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von $\overline{AB}$ verläuft und zu dieser Strecke $\overline{AB}$ senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).

Lösung: Schritt 1 Voraussetzung: $\overline{AB}$ mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt P, wobei P ԑ m
Behauptung: zu zeigen: $\overline{PA}$ ist kongruent zu $\overline{PB}$

Beweisschritt	Behauptung
1) $\overline{MA}$ ist kongruent zu $\overline{MB}$ 2) $\overline{MP}$ ist kongruent zu $\overline{MP}$ 3) $\angle (M,A,P)$ ist kongruent zu $\angle (M,B,P)$ 4) Dreieck $\overline{AMP}$ ist kongruent zu Dreieck $\overline{BMP}$ 5) $\overline{PA}$ ist kongruent zu $\overline{PB}$	Voraussetzung, Def. Mittelpunkt trivial Voraussetzung, Definition Mittelsenkrechte Kongruenzsatz SWS, 1-3 5

→Jeder Punkt P auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B

Schritt 2: Voraussetzung: $\overline{AB}$ mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt X, für den gilt $\overline{XA}$ ist kongruent zu $\overline{XB}$
Behauptung: zu zeigen: $\angle (M,A,X)$ ist kongruent zu $\angle (M,B,X)$

Beweisschritt	Behauptung
1) $\overline{AX}$ ist kongruent zu $\overline{BX}$ 2) $\overline{MX}$ ist kongruent zu $\overline{MX}$ 3) $\overline{AM}$ ist kongruent zu $\overline{BM}$ 4) Dreieck $\overline{AMX}$ ist kongruent zu Dreieck $\overline{BMX}$ 5) $\angle (M,A,X)$ ist kongruent zu $\angle (M,B,X)$	Voraussetzung trivial Voraussetzung, Def. Mittelpunkt Kongruenzsatz SSS, 1-3 4

→Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g--Matthias 19:16, 27. Apr. 2011 (CEST)

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 (Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).<br />
-'''Lösung''': '''Schritt 1''' Zu zeigen: Jeder Punkt auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B.
+'''Lösung''': '''Schritt 1''' Voraussetzung: <math>\overline{AB}</math> mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt P, wobei P ԑ m<br />
-Man bestimmt einen beliebigen Punkt P auf der Geraden g. Konstruiert man nun die Verbindungsstrecken <math>\overline{PA}</math> und <math>\overline{PB}</math>, so erhält man zwei Dreiecke <math>\overline{APM}</math> und <math>\overline{MPB}</math> (M sei der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>). Diese beiden Dreiecke sind laut dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da <math>\overline{MA}</math> = <math>\overline{MB}</math> (laut Definition) und <math>\overline{MP}</math> = <math>\overline{MP}</math> und beide einen kongruenten rechten Winkel haben. Daraus ergibt sich, dass <math>\overline{PA}</math> = <math>\overline{PB}</math> sein muss.
+Behauptung: zu zeigen: <math>\overline{PA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{PB}</math><br />
+{| class="wikitable"
+|-
+| Beweisschritt|| Behauptung
+|-
+| 1) <math>\overline{MA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MB}</math><br /> 2) <math>\overline{MP}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MP}</math><br /> 3) <math>\angle (M,A,P)</math> ist kongruent zu <math>\angle (M,B,P)</math><br /> 4) Dreieck <math>\overline{AMP}</math> ist kongruent zu Dreieck <math>\overline{BMP}</math><br /> 5) <math>\overline{PA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{PB}</math>|| Voraussetzung, Def. Mittelpunkt<br />trivial<br />Voraussetzung, Definition Mittelsenkrechte<br />Kongruenzsatz SWS, 1-3<br />5
+|}<br />→Jeder Punkt P auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B<br /><br />
+Schritt 2: Voraussetzung: <math>\overline{AB}</math> mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt X, für den gilt <math>\overline{XA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{XB}</math><br />
+Behauptung: zu zeigen: <math>\angle (M,A,X)</math> ist kongruent zu <math>\angle (M,B,X)</math><br />
+{| class="wikitable"
+|-
+| Beweisschritt || Behauptung
+|-
+| 1) <math>\overline{AX}</math> ist kongruent zu <math>\overline{BX}</math><br /> 2) <math>\overline{MX}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MX}</math><br /> 3) <math>\overline{AM}</math> ist kongruent zu <math>\overline{BM}</math><br /> 4) Dreieck <math>\overline{AMX}</math> ist kongruent zu Dreieck <math>\overline{BMX}</math><br /> 5) <math>\angle (M,A,X)</math> ist kongruent zu <math>\angle (M,B,X)</math> || Voraussetzung<br />trivial<br />Voraussetzung, Def. Mittelpunkt<br />Kongruenzsatz SSS, 1-3<br />4
+|}<br />→Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:16, 27. Apr. 2011 (CEST)
-'''Schritt 2''' Zu zeigen: Jeder Punkt mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g.
-Um einen beliebigen Punkt mit dem gleichen Abstand zu A und B zu konstruieren, zeichnet man Kreise mit den Mittelpunkten A und B und dem gleichen Radius r. Der Schnittpunkt der beiden Kreislinien ergibt mit den Punkten A, B und M widerrum zwei zueinander kongruente Dreiecke, da <math>\overline{AP}</math> = <math>\overline{BP}</math> und <math>\overline{MP}</math> = <math>\overline{MP}</math>. Da beide Dreiecke auch einen kongruenten Winkel haben, müssen sie auf der Geraden g liegen, damit gilt: <math>\overline{AM}</math> = <math>\overline{BM}</math>. --[[Benutzer:matthias|matthias]] 13:23, 27. Apr. 2011 (CEST)<br />
 [[Category:Einführung_Geometrie]]

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