Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11): Unterschied zwischen den Versionen

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<span style="color:navy">Die benannten Winkel entsprechen alpha und betha bei ülicher Bezeichung im Dreieck. Oder meinst du vllt andere Winkel? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:16, 30. Apr. 2011 (CEST)<br />
 
<span style="color:navy">Die benannten Winkel entsprechen alpha und betha bei ülicher Bezeichung im Dreieck. Oder meinst du vllt andere Winkel? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:16, 30. Apr. 2011 (CEST)<br />
 
Ich meinte die Winkel <math>\angle (A,M,X)</math> und <math>\angle (B,M,X)</math>, habe sie falsch bezeichnet. Habs im Text berichtigt. --[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 15:30, 4. Mai 2011 (CEST)
 
Ich meinte die Winkel <math>\angle (A,M,X)</math> und <math>\angle (B,M,X)</math>, habe sie falsch bezeichnet. Habs im Text berichtigt. --[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 15:30, 4. Mai 2011 (CEST)
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Möglichkeit über Kongruenzsatz SsW:<br />
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Die Voraussetzung aus Schritt 2 bleibt wie oben identisch, das zu zeigende Element des Beweises (Behauptung) logischerweise auch.
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| Beweisschritt || Behauptung
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| 1) <math>\overline{AX}</math> ist kongruent zu <math>\overline{BX}</math><br /> 2) <math>\overline{MX}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MX}</math><br /> 3) <math>\angle (A, M, X)</math> ist kongruent zu <math>\angle (X, M, B)</math><br /> 4) Dreieck <math>\overline{AMX}</math> ist kongruent zu Dreieck <math>\overline{BMX}</math><br /> 5) <math>\angle (A,M,X)</math> ist kongruent zu <math>\angle (B,M,X)</math> || Voraussetzung<br />trivial<br />Voraussetzung, rechter Winkel, g senkrecht auf Strecke AB<br />Kongruenzsatz SsW, 1-3<br />4
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|}<br />→Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:19, 4. Mai 2011 (CEST)<br />
  
  
 
[[Category:Einführung_Geometrie]]
 
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Version vom 4. Mai 2011, 17:19 Uhr

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke \overline{AB} ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von \overline{AB} verläuft und zu dieser Strecke \overline{AB} senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke \overline{AB} ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).

Lösung: Schritt 1 Voraussetzung: \overline{AB} mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt P, wobei P ԑ m
Behauptung: zu zeigen: \overline{PA} ist kongruent zu \overline{PB}

Beweisschritt Behauptung
1) \overline{MA} ist kongruent zu \overline{MB}
2) \overline{MP} ist kongruent zu \overline{MP}
3) \angle (A,M,P) ist kongruent zu \angle (B,M,P)
4) Dreieck \overline{AMP} ist kongruent zu Dreieck \overline{BMP}
5) \overline{PA} ist kongruent zu \overline{PB}		 Voraussetzung, Def. Mittelpunkt
trivial
Voraussetzung, Definition Mittelsenkrechte
Kongruenzsatz SWS, 1-3
5

→Jeder Punkt P auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B

Schritt 2: Voraussetzung: \overline{AB} mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt X, für den gilt \overline{XA} ist kongruent zu \overline{XB}
Behauptung: zu zeigen: \angle (M,A,X) ist kongruent zu \angle (M,B,X)

Beweisschritt Behauptung
1) \overline{AX} ist kongruent zu \overline{BX}
2) \overline{MX} ist kongruent zu \overline{MX}
3) \overline{AM} ist kongruent zu \overline{BM}
4) Dreieck \overline{AMX} ist kongruent zu Dreieck \overline{BMX}
5) \angle (A,M,X) ist kongruent zu \angle (B,M,X) 		Voraussetzung
trivial
Voraussetzung, Def. Mittelpunkt
Kongruenzsatz SSS, 1-3
4

→Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g--Matthias 19:16, 27. Apr. 2011 (CEST)

Wozu zeigst du Matthias in Schritt 2, dass \angle (M,A,X) \cong \angle (M,B,X) ist(Behauptung 2) ?
Die benannten Winkel entsprechen alpha und betha bei ülicher Bezeichung im Dreieck. Oder meinst du vllt andere Winkel? --Tutorin Anne 19:16, 30. Apr. 2011 (CEST)
Ich meinte die Winkel \angle (A,M,X) und \angle (B,M,X), habe sie falsch bezeichnet. Habs im Text berichtigt. --Matthias 15:30, 4. Mai 2011 (CEST)


Möglichkeit über Kongruenzsatz SsW:
Die Voraussetzung aus Schritt 2 bleibt wie oben identisch, das zu zeigende Element des Beweises (Behauptung) logischerweise auch.


Beweisschritt Behauptung
1) \overline{AX} ist kongruent zu \overline{BX}
2) \overline{MX} ist kongruent zu \overline{MX}
3) \angle (A, M, X) ist kongruent zu \angle (X, M, B)
4) Dreieck \overline{AMX} ist kongruent zu Dreieck \overline{BMX}
5) \angle (A,M,X) ist kongruent zu \angle (B,M,X) 		Voraussetzung
trivial
Voraussetzung, rechter Winkel, g senkrecht auf Strecke AB
Kongruenzsatz SsW, 1-3
4

→Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten --Flo60 17:19, 4. Mai 2011 (CEST)

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