Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11)
Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von verläuft und zu dieser Strecke senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).
Lösung: Schritt 1 Zu zeigen: Jeder Punkt auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B. Man bestimmt einen beliebigen Punkt P auf der Geraden g. Konstruiert man nun die Verbindungsstrecken und , so erhält man zwei Dreiecke und (M sei der Mittelpunkt der Strecke ). Diese beiden Dreiecke sind laut dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da = (laut Definition) und = und beide einen kongruenten rechten Winkel haben. Daraus ergibt sich, dass = sein muss.
Schritt 2 Zu zeigen: Jeder Punkt mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g.
Um einen beliebigen Punkt mit dem gleichen Abstand zu A und B zu konstruieren, zeichnet man Kreise mit den Mittelpunkten A und B und dem gleichen Radius r. Der Schnittpunkt der beiden Kreislinien ergibt mit den Punkten A, B und M widerrum zwei zueinander kongruente Dreiecke, da = und = . Da beide Dreiecke auch einen kongruenten Winkel haben, müssen sie auf der Geraden g liegen, damit gilt: = . --matthias 13:23, 27. Apr. 2011 (CEST)