Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11)

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Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke \overline{AB} ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von \overline{AB} verläuft und zu dieser Strecke \overline{AB} senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke \overline{AB} ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).

Lösung: Schritt 1 Voraussetzung: \overline{AB} mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt P, wobei P ԑ m
Behauptung: zu zeigen: \overline{PA} ist kongruent zu \overline{PB}

Beweisschritt Behauptung
1) \overline{MA} ist kongruent zu \overline{MB}
2) \overline{MP} ist kongruent zu \overline{MP}
3) \angle (M,A,P) ist kongruent zu \angle (M,B,P)
4) Dreieck \overline{AMP} ist kongruent zu Dreieck \overline{BMP}
5) \overline{PA} ist kongruent zu \overline{PB}
Voraussetzung, Def. Mittelpunkt
trivial
Voraussetzung, Definition Mittelsenkrechte
Kongruenzsatz SWS, 1-3
5

→Jeder Punkt P auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B

Schritt 2: Voraussetzung: \overline{AB} mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt X, für den gilt \overline{XA} ist kongruent zu \overline{XB}
Behauptung: zu zeigen: \angle (M,A,X) ist kongruent zu \angle (M,B,X)

Beweisschritt Behauptung
1) \overline{AX} ist kongruent zu \overline{BX}
2) \overline{MX} ist kongruent zu \overline{MX}
3) \overline{AM} ist kongruent zu \overline{BM}
4) Dreieck \overline{AMX} ist kongruent zu Dreieck \overline{BMX}
5) \angle (M,A,X) ist kongruent zu \angle (M,B,X)
Voraussetzung
trivial
Voraussetzung, Def. Mittelpunkt
Kongruenzsatz SSS, 1-3
4

→Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g--Matthias 19:16, 27. Apr. 2011 (CEST)