Lösung von Aufgabe 3.9 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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oder wenn wir mit den gemeinsamen Punkten beginnen wollen:<br />
 
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ansonsten ist die Schlußfolgerung korrekt.
  
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Hier geht alles drunter und drüber. Ausgangspunkt ist die ursprüngliche Implikation.<br />
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Wenn zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> verschieden (nicht identisch)  sind, dann haben sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.<br />
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'''Voraussetzung:''' <math>a</math> und <math>b</math> sind nicht identisch.<br />
  
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'''Behauptung:''' Es gibt nicht mehr als einen Punkt, den <math>a</math> und <math>b</math> gemeinsam haben.<br /><br />
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Der Widerspruchsbeweis geht davon aus, dass die Vorauusetzung wahr, die Behauptung jedoch falsch ist.<br />
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Wir nehmen also an, dass die beiden Geraden <math>a</math> und <math>b</math> zwar verschieden sind, aber mehr als einen Punkt gemeinsam haben ....
 
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Aktuelle Version vom 10. Juni 2018, 16:10 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 3.9 SoSe 2018

Die folgende Aussage möge wahr sein:
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.
Wir betrachten den folgenden Satz:

Wenn zwei Geraden a und b nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.

(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen.
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.

Lösung 1

Aufgabe 3.9

Kommentar --*m.g.* (Diskussion) 15:31, 10. Jun. 2018 (CEST):

Formulierungsschwächen

Die Kontraposition

Die Kontraposition wurde prinzipiell richtig gebildet. Das rein formale Umkehren und Negieren passt jedoch mitunter nicht für eine korrekte Formulierung:
"Wenn mehr als ein Punkt gemeinsam, dann sind zwei Geraden identisch."

  1. Wer hat mehr als einen Punkt gemeinsam?
  2. Um welche Geraden geht es in der Behauptung?

Korrekte Formulierung:

Wenn zwei Geraden mehr als einen Punkt gemeinsam haben, dann sind sie identisch.


Ihre Formulierung: Irgendwelche nicht spezifizierte Objekte (etwa ein Kreis und eine Strecke) haben mehr als einen Punkt gemeinsam. Daraus folgt: Irgendwelche zwei Geraden sind identisch.

Der Beweis der Kontraposition

Sie schreiben: Es existieren zwei Punkte P_1 und P_2 und zwei Geraden g_1 und g_2.

Das sagt der Satz "Wenn zwei Geraden zwei Punkte gemeinsam haben, dann ... " jedoch nicht aus:
"Es gibt zwei Geraden, die zwei Punkte gemeinsam haben." ist mit dem Satz nicht gemeint. Der Satz meint: "Sollten zwei Geraden zwei punkte gemeinsam haben ... " bzw. "Falls zwei Geraden zwei Punkte gemeinsam haben ...". Sie dürfen damit den beweis nicht mit den folgenden Worten beginnen: "Es gibt zwei verschiedene Punkte, die auf zwei Geraden liegen." In diesem Fall hätten wir einen Existenzbeweis zu führen. Wir haben aber zu zeigen, dass unter der Bedingung, dass zwei Geraden zwei (verschiedene) Punkte gemeinsam haben, eben diese Geraden identisch sind.
Der Beginn des Beweises lautet also:
Wir gehen davon aus, dass zwei Geraden zwei verschiedene Punkte gemeinsam haben.
Oder anders formuliert:
Es seien g_1 und g_2 zwei Geraden, die zwei verschiedene Punkte P_1 und P_2 gemeinsam haben.
oder wenn wir mit den gemeinsamen Punkten beginnen wollen:
Es seien P_1 und P_2 zwei verschiedene Punkte, die die beiden Geraden g_1 und g_2 gemeinsam haben.


ansonsten ist die Schlußfolgerung korrekt.

Der Widerspruchsbeweis

Hier geht alles drunter und drüber. Ausgangspunkt ist die ursprüngliche Implikation.
Wenn zwei Geraden a und b verschieden (nicht identisch) sind, dann haben sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.
Voraussetzung: a und b sind nicht identisch.

Behauptung: Es gibt nicht mehr als einen Punkt, den a und b gemeinsam haben.

Der Widerspruchsbeweis geht davon aus, dass die Vorauusetzung wahr, die Behauptung jedoch falsch ist.
Wir nehmen also an, dass die beiden Geraden a und b zwar verschieden sind, aber mehr als einen Punkt gemeinsam haben ....

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