Lösung von Aufgabe 3.9 SoSe 2018

Aufgabe 3.9 SoSe 2018 Die folgende Aussage möge wahr sein: (I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. Wir betrachten den folgenden Satz: Wenn zwei Geraden $a$ und $b$ nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam. (a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen. (b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises. Lösung 1 Kommentar --*m.g.* (Diskussion) 15:31, 10. Jun. 2018 (CEST): Formulierungsschwächen Die Kontraposition Die Kontraposition wurde prinzipiell richtig gebildet. Das rein formale Umkehren und Negieren passt jedoch mitunter nicht für eine korrekte Formulierung: "Wenn mehr als ein Punkt gemeinsam, dann sind zwei Geraden identisch." Wer hat mehr als einen Punkt gemeinsam? Um welche Geraden geht es in der Behauptung? Korrekte Formulierung: Wenn zwei Geraden mehr als einen Punkt gemeinsam haben, dann sind sie identisch. Ihre Formulierung: Irgendwelche nicht spezifizierte Objekte (etwa ein Kreis und eine Strecke) haben mehr als einen Punkt gemeinsam. Daraus folgt: Irgendwelche zwei Geraden sind identisch. Der Beweis der Kontraposition Sie schreiben: Es existieren zwei Punkte $P_1$ und $P_2$ und zwei Geraden $g_1$ und $g_2$. Das sagt der Satz "Wenn zwei Geraden zwei Punkte gemeinsam haben, dann ... " jedoch nicht aus: "Es gibt zwei Geraden, die zwei Punkte gemeinsam haben." ist mit dem Satz nicht gemeint. Der Satz meint: "Sollten zwei Geraden zwei punkte gemeinsam haben ... " bzw. "Falls zwei Geraden zwei Punkte gemeinsam haben ...". Sie dürfen damit den beweis nicht mit den folgenden Worten beginnen: "Es gibt zwei verschiedene Punkte, die auf zwei Geraden liegen." In diesem Fall hätten wir einen Existenzbeweis zu führen. Wir haben aber zu zeigen, dass unter der Bedingung, dass zwei Geraden zwei (verschiedene) Punkte gemeinsam haben, eben diese Geraden identisch sind. Der Beginn des Beweises lautet also: Wir gehen davon aus, dass zwei Geraden zwei verschiedene Punkte gemeinsam haben. Oder anders formuliert: Es seien $g_1$ und $g_2$ zwei Geraden, die zwei verschiedene Punkte $P_1$ und $P_2$ gemeinsam haben. oder wenn wir mit den gemeinsamen Punkten beginnen wollen: Es seien $P_1$ und $P_2$ zwei verschiedene Punkte, die die beiden Geraden $g_1$ und $g_2$ gemeinsam haben. ansonsten ist die Schlußfolgerung korrekt. Der Widerspruchsbeweis Hier geht alles drunter und drüber. Ausgangspunkt ist die ursprüngliche Implikation.