Lösung von Aufgabe 4.08 S SoSe 13

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Aufgabe 4.08

Gegeben seien in der Ebene \varepsilon zwei nicht identische Geraden a und b. Sowohl a als auch b mögen durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Beweisen Sie: Wenn bei diesem Schnitt kongruente Stufenwinkel entstehen, dann sind a und b parallel zueinander.
Hinweis: Führen Sie den Beweis indirekt, indem Sie annehmen, dass a und b nicht parallel sind. Jetzt dürfen Sie den schwachen Außenwinkelsatz (Jeder Außenwinkel ist größer als jeder nichtanliegende Innenwinkel.) anwenden.

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Vor.: \alpha \tilde {=} \beta
Beh.: a nicht parallel zu b

(1) Wenn a nicht parallel ist zu b, dann folgt daraus, dass \alpha ein Innenwinkel und \beta ein Außenwinkel ist.
(2) \beta > \alpha wegen dem schwachen Außenwinkelsatz. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung.

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