Lösung von Aufgabe 4.2 (SoSe 19): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 14. Mai 2019, 18:48 Uhr

Satz: In einem Dreieck mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

Vor: |AC|< |BC| < |AB|
Beh: |α| = |β|

1. |α| ist der Winkel von |AC| und |AB| / Defi. Basiswinkelsatz
2. |β| ist der Winkel von |BC| und |AB| / Defi. Basiswinkelsatz
3. AC ist ungleich BC / Voraussetzung
4. Alpha ist ungleich Beta / 1), 2), 3)
Wiederspruch zur Behauptung--Goldxyz (Diskussion) 07:16, 12. Mai 2019 (CEST)