Lösung von Aufgabe 5.5 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen

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b) Die Relation hat folgende Eigenschaften:
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* ist reflexiv: <math>\overline{AB} || \overline{AB}</math> <br />
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*ist symmetrisch: <math>\overline{AB} || g \Rightarrow g || \overline{AB}</math><br />
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* ist transitiv: <math>\overline{AB} ||  g \ \wedge  g || h  \Rightarrow \overline{AB}  || h</math><br />
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Also ist es eine Äquivalenzrelation. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:02, 13. Nov. 2011 (CET)

Version vom 13. November 2011, 18:02 Uhr

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation \ \Theta (\ \Theta ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge \ E \setminus g (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige \ A,B \in E \setminus g gilt: \ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace.
a) Beschreiben Sie die Relation \ \Theta verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass \ \Theta eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation \ \Theta bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) parallel
b) Die Relation hat folgende Eigenschaften:

  • ist reflexiv: \overline{AB} || \overline{AB}
  • ist symmetrisch: \overline{AB} || g \Rightarrow g || \overline{AB}
  • ist transitiv: \overline{AB} || g \ \wedge g || h \Rightarrow \overline{AB} || h

Also ist es eine Äquivalenzrelation. --Todah raba 17:02, 13. Nov. 2011 (CET)

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