Lösung von Aufgabe 5.6 P (WS 20 21): Unterschied zwischen den Versionen

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Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br />
 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br />
  
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a) ''<math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind Punkte der selben Halbebene.<br />--[[Benutzer:Werzdavid|Werzdavid]] ([[Benutzer Diskussion:Werzdavid|Diskussion]]) 16:06, 2. Dez. 2020 (CET)
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b) ''reflexiv: Die Strecke von <math>\ A</math> nach <math>\ A</math> ist gleich dem Punkt <math>\ A</math>, welcher nicht Element von <math>\ g</math> sein kann.<br />
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:''symmetrisch'': Da <math>\overline{AB}\cap g \Leftrightarrow \overline{BA}\cap g</math> ist die Relation symmetrisch.
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:''transitiv'': Wenn <math>\ A</math> und <math>\ B</math> in der selben Halbebene liegen und <math>\ B</math> und <math>\ C</math> auch, dann liegen auch <math>\ A</math> und <math>\ C</math> in der selben Halbebene.--[[Benutzer:Werzdavid|Werzdavid]] ([[Benutzer Diskussion:Werzdavid|Diskussion]]) 16:06, 2. Dez. 2020 (CET)
  
  
  
 
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Version vom 2. Dezember 2020, 17:06 Uhr

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation \ \Theta (\ \Theta ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge \ E \setminus g (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige \ A,B \in E \setminus g gilt: \ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace.
a) Beschreiben Sie die Relation \ \Theta verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass \ \Theta eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation \ \Theta bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) \ A und \ B sind Punkte der selben Halbebene.
--Werzdavid (Diskussion) 16:06, 2. Dez. 2020 (CET) b) reflexiv: Die Strecke von \ A nach \ A ist gleich dem Punkt \ A, welcher nicht Element von \ g sein kann.

symmetrisch: Da \overline{AB}\cap g \Leftrightarrow \overline{BA}\cap g ist die Relation symmetrisch.
transitiv: Wenn \ A und \ B in der selben Halbebene liegen und \ B und \ C auch, dann liegen auch \ A und \ C in der selben Halbebene.--Werzdavid (Diskussion) 16:06, 2. Dez. 2020 (CET)
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