Lösung von Aufgabe 6.07 S SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen

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<u>z.z.</u>: <math>C\in \ AB^{+} \wedge  \left| AB \right| < \left| AC \right| \Rightarrow Zw(A,B,C)</math>
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1.Voraussetzung: <math>C\in \ AB^{+}</math>
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nun z.z.: <math>\neg Zw(A,C,B)</math>
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Annahme: Zw(A,C,B) <math>\Leftrightarrow</math> <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| \Leftrightarrow \left| AC \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|</math> (**) (s. Axiom II.2)
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aus (*) und (**) folgt:
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<math>\left| AB \right| < \left| AC \right| \Leftrightarrow \left| AC \right| + \left| BC \right| <\left| AC \right| \Leftrightarrow  \left| BC \right| < 0 \Rightarrow</math> Widerspruch zu Axiom II.1 (Der Abstand zwei beliebiger Punkte ist nie negativ.)
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Daher gilt: Zw(A,B,C)  q.e.d.
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Aktuelle Version vom 6. Juni 2013, 21:07 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 6.07

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte \ A, B und \ C gilt:
Wenn C \in \ AB^{+} und \left| AB \right| < \left| AC \right| dann gilt \operatorname Zw (A, B, C)

Lösung User --Illu13 21:07, 6. Jun. 2013 (CEST)

z.z.: C\in \ AB^{+} \wedge \left| AB \right| < \left| AC \right| \Rightarrow Zw(A,B,C)

1.Voraussetzung: C\in \ AB^{+}

2.Voraussetzung: \left| AB \right| < \left| AC \right| (*)

Behauptung: Zw(A,B,C)

Beweis:

C\in \ AB^{+} \Rightarrow Zw(A,B,C) \vee Zw(A,C,B) [s. Def. Halbgerade]

nun z.z.: \neg Zw(A,C,B)

Annahme: Zw(A,C,B) \Leftrightarrow \left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| \Leftrightarrow \left| AC \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right| (**) (s. Axiom II.2)

aus (*) und (**) folgt:

\left| AB \right| < \left| AC \right| \Leftrightarrow \left| AC \right| + \left| BC \right| <\left| AC \right| \Leftrightarrow \left| BC \right| < 0 \Rightarrow Widerspruch zu Axiom II.1 (Der Abstand zwei beliebiger Punkte ist nie negativ.)

Daher gilt: Zw(A,B,C) q.e.d.

--Illu13 21:07, 6. Jun. 2013 (CEST)

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